دایره

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
قطعه‌ای زینتی و دایره‌ای از جنس ابریشم با طرح‌های مغول متعلق به هنر دوره ایلخانی.
تاریخ اثر: حدود 1305 میلادی
یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)
نمای بالایی از اندرونی برج طغرل که به صورت دایره شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.

دایره مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطه ی ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد. نقطه ی ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازه ی شعاع دایره نامیده می‌شود.

در حقیقت، دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبق‌اند.

2πr= محیط دایره

πr²= مساحت دایره

مساحت دایره[ویرایش]

مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین شده است.[۱]
اگر یک دایره ی مفروض را به چهار قطاع مساوی تقسیم کنیم و کنار هم به صورت زیر بچینیم :

دایره ی مفروض

چیده شود به صورت

دایره بر چهار قطاع تقسیم شده مرحله 2.jpg

کنون شکل به دست آمده نا متعارف است اما اگر دایره ی مفروض را به قطاع های بیشتری تقسیم کنیم و به همین روند پیش برویم مشاهده می کنیم که شکل به دست آمده به متوازی الاضلاع نزدیک می شود. به عنوان نمونه در مرحله ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می شود؛ به شکل زیر خواهیم رسید که به متوازی الاضلاع نزدیک تر است:

دایره بر هشت قطاع تقسیم شده .jpg

اما اگر فرض را بر این بگیریم که دایره به قطاع هایی بی شمار و مساوی تقسیم شده است آن گاه شکل ما متوازی الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است.

دایره بر قطاع های بسیاری تقسیم شده .jpg

می دانیم که مساحت این متوازی الاضلاع با دایره ی مفروض برابر خواهد بود. پس بنابر مساحت متوازی الاضلاع، ارتفاع متوازی الاضلاع که همان شعاع دایره است را در ضلع بزرگ متوازی الاضلاع ضرب می کنیم و مساحت دایره به دست می آید. اگر کمی دقت کنید متوجه می شوید که اضلاع بزرگ متوازی الاضلاع همان کمان های نظیر قطاع ها را تشکیل می دهند پس می توانیم بگوییم که یک ضلع بزرگ متوازی الاضلاع برابر با نصف محیط دایره ی مفروض خواهد بود آن گاه اندازه ی آن πr خواهد بود و اندازه ی شعاع هم که r است پس مساحت دایره πr . r = πr² خواهد بود.[۱]
JM فقط ریاضی، مساحت دایره

اِفرازِ صفحه توسط دایره[ویرایش]

دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:

  1. داخل دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند I، که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است؛
  2. روی دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند M که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است؛
  3. خارج دایره، مجموعه ی نقطه‌هایی مانند E که فاصله ی آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.

وتر[ویرایش]

یک دایره با دو وتر و یک قطر

پاره خطی که دو نقطه‌ی متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر یا زه آن دایره نامیده می‌شود.

  • قطر: زهی که از مرکز دایره می‌گذرد، قطر یا ستبرا آن دایره نامیده می‌شود.
هر ستبرا، دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیمدایره یا نیمگردی نامیده می‌شوند.

زاویه مرکزی[ویرایش]

زاویه مرکزی

زاویه‌ای که رأسش مرکز دایره باشد، زاویه مرکزی می‌نامند.

  • هر زاویه مرکزی یک کمان از دایره جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود.
  • اندازه ی کمان نظیر هر زاویه مرکزی در دایره برحسب درجه، همان اندازه ی زاویه مرکزی روبه روی آن کمان است.

قضیه‌های دایره[ویرایش]

  • در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.
قطر عمود بر وتر دایره
  • در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و به وارون.
وتر بزرگتر به مرکز دایره نزدیکتر است

معادله‌های دایره[ویرایش]

نمودار معادله ی دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r
  • مرکز شعاع: دایره‌ای که مرکزش (c(h,k و شعاعش r باشد، دارای معادله ی

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2

است.

چرایی: نقطه ی (P(x,y روی دایره‌است اگر و فقط اگر

=r|\overline{P C}|


یعنی، اگر و فقط اگر

\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r

این درست است اگر و فقط اگر

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2


نمودار معادله ی دایره‌ای به مرکز (۰٫۰) و شعاع r
معادله‌ی دایره‌ای به مرکز (۰٫۰):

x^2+y^2=r^2

چرایی:با گذاردن h=0 و k=0 در رابطه‌ی مرکز-شعاع دایره، به سادگی رابطه‌ی بالا بدست می‌آید.
  • شکل کلی: معادله‌ی زیر

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0


که در آن D=-2h و E=-2k و F=h^2+k^2-r^2، شکل کلی معادله ی دایره نامیده می‌شود.

نگارخانه[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ JM فقط ریاضی، مساحت دایره.

کتاب هندسه2. شابک ۴-۱۲۹۷-۰۵-۹۶۴
حساب دیفرانسیل و انتگرال باهندسه ی تحلیلی، نوشته ی لویی لیت هولد. شابک ۷-۶۱۳۳ ۰۳-۹۶۴