دایره

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
نمای بالایی از اندرونی برج طغرل که به صورت دایره شکل است و معرف معماری دوران سلجوقیان است.
از سلسله مقالاتی دربارهٔ
مقاطع مخروطی
Krzywe stożkowe fa.svg
سهمی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Parabola (PSF).png Parabola.svg
هذلولی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Hyperbola (PSF).svg Hyperbola2.svg
بیضی
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Ellipse-conic.svg CoA dames 220x300.svg
دایره (حالت خاص بیضی)
معادله
برون‌مرکزی ()
نیم‌راست‌وتر کانونی ()
Konusni presek - Krug.png Disk 1.svg
 •  •  •

دایره یا پَرهون مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله‌شان از نقطهٔ ثابتی واقع در آن صفحه، مقدار ثابتی باشد. نقطهٔ ثابت مرکز دایره و مقدار ثابت اندازهٔ شعاع دایره نامیده می‌شود.

در حقیقت، دایره یک بیضی است که کانون‌های آن بر همدیگر منطبق‌اند.

۲πr= محیط دایره(۳٬۱۴قطر)

πr²= مساحت دایره (شعاع*شعاع*۳٫۱۴)

دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط و حداقل محیط ممکن برای مقدار معین مساحت را دارد.

محتویات

تاریخچه[ویرایش]

تاریخچهٔ مطالعهٔ دایره به پیش از آغاز تاریخ بازمی‌گردد؛ چنان‌که اختراع چرخ در هزارهٔ چهارم پیش از میلاد در میانرودان نشان از کشف ویژگی‌های بنیادی دایره دارد.[۱] در مصر نیز احمس، نویسندهٔ پاپیروس ریاضی ریند ‏(en)، قانونی برای محاسبهٔ مساحت دایره به دست می‌دهد که با مطابق است.[۲]

تاریخ باستان[ویرایش]

مسیر حرکت افلاک در نظام بطلمیوسی
طرح جووانی دومنیکو کاسینی از مدل بطلمیوسی جهان هستی

نخستین قضایای مربوط به دایره دو قضیه از چهار قضیهٔ منسوب به تالس (حدود ۶۵۰ پ. م) اند. او ثابت کرد که قطر دایره آن را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند و اینکه زاویهٔ محاطی‌ای که دایره را در دو سر یک قطر قطع کند قائمه است.[۳]

یکی از مسائل هندسی که یونانیان به‌شدت با آن درگیر بودند مسئلهٔ یافتن مربعی با مساحت مساوی دایره (اصطلاحاً تربیع دایره) بود. آناکساگوراس (حدود ۴۵۰ پ. م) نخستین ریاضی‌دانی شناخته‌شده‌ای است که این مسئله را مطالعه کرده‌است.[۴] بقراط خیوسی (۴۷۰ – ۴۱۰ پ. م) در تلاش برای حل تربیع دایره توانست ثابت کند که مساحت هلال کوچکتر ایجاد شده از برخورد دو دایره، برابر با مساحت مثلث قائم‌الزاویهٔ متساوی‌الساقینی است که وترش برابر وتر دایرهٔ کوچکتر و اضلاعش برابر شعاع دایرهٔ بزرگتر است. هلال بقراط نخستین منحنی‌ای بود که مساحت دقیق آن از طریق ریاضی محاسبه شد.[۵] آریستوفان (حدود ۴۴۶ – ۳۸۶ پ.م) در نمایشنامهٔ پرنده‌ها «تربیع‌کنندگان دایره‌ها» را به سخره می‌گیرد.[۶] دیگر مسائل بزرگی که ریاضی‌دانان یونانی را درگیر خود کرده بود تثلیث زاویه (تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی) و تضعیف مکعب (دو برابر کردن حجم مکعب) بود.

فیثاغوری‌ها باور داشتند که زمین کره‌ای است در مرکز هستی و ماه و خورشید و سیارات در اطراف آن در دایره هم‌مرکز در یک صفحهٔ چرخ‌مانند در گردش اند.[۷] این نظریهٔ زمین‌مرکزی، باور غالب یونانیان باستان بود. بااین‌همه آریستارخوس ساموسی‌ نظریهٔ خورشیدمرکزی‌اش را مطرح کرد و به باور او خورشید ثابت است و زمین در دایره‌ای به مرکز خورشید در حرکت.[۸]

فیلسوف یونانی افلاطون (۴۲۸/۴۲۷ – ۳۴۸/۳۴۷ پ.م) باور داشت که شکل هستی یک کرهٔ بی‌نقص است و همهٔ حرکت‌های سماواتی در دایره‌هایی کامل و با سرعت یکسان صورت می‌گیرد.[۹] این باور افلاطون به اصلی جزم‌اندیشانه در آکادمی افلاطون و بعدها در میان ستاره‌شناسان یونان باستان بدل شد.[۱۰] کتاب سوم اصول اقلیدس (حدود ۳۶۵ – ۲۷۵ پ. م) نیز به ویژگی‌های دایره و مسائل مربوط به محیط و محاط کردن آن نسبت به چندضلعی‌ها اختصاص دارد.[۱۱] همچنین سومین اصل از اصول موضوعه اقلیدس بیان می‌دارد که «برای هر پاره خط دلخواه می‌توان دایره‌ای به شعاع آن پاره خط و به مرکز یک سر آن رسم کرد.»

ارشمیدس (۲۸۷ – ۲۱۲ پ.م.) در اندازه‌های دایره ‏(en) برای اولین بار فرمول مساحت دایره را ثابت کرد[۱۲] و با چندضلعی‌های منتظم محیطی و محاطی ۹۶ ضلعی، عدد π را به صورت (یعنی ۳٫۱۴۰۸ < π < ۳٫۱۴۲۹) تعریف و محاسبه کرد، ازین‌رو عدد پی در برخی منابع «عدد ارشمیدس» نامیده شده‌است.

آپولونیوس (حدود ۲۴۰ پ. م) موثراً نشان داد که معادلهٔ دوقطبی با تغییر نظامی از دایره‌های هم‌محور را می‌سازد.[۱۳] او همچنین دایره را به عنوان حالت خاص بیضی به عنوان یکی از مقاطع مخروطی تعریف می‌کند، خط مماس بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی حساب دیفرانسیل شد) را تعریف و عدد پی را با دقتی بیشتر از ارشمیدس محاسبه کرد.[۱۴] او همچنین مسئله‌های آپولونیوس را مطرح و حل کرد و دایره را به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت فواصلشان از دو نقطه ثابت است تعریف کرد.

بطلمیوس (حدود ۱۰۰ – ۱۶۸ میلادی) با ترکیب آرای ستاره‌شناسان پیشین در در المجسطی، نظام زمین‌مرکزی‌اش را به‌گونه‌ای تعریف می‌کند که تمام ساختار هستی بر اساس شکل دایره توجیه شود.[۱۵] به گفتهٔ بطلمیوس زمین و «افلاک» (به ترتیب ماه، عطارد، زهره، خورشید، مریخ، مشتری، و زحل) کاملا کروی‌اند و زمین در مرکز گیتی ثابت و مستحکم شده‌است. به باور او افلاک با سرعت یکنواخت بر دایره‌ای کوچک به نام فلک تدویر در حرکتند و مرکز هر فلک تدویر با سرعتی یکنواخت بر دایره‌ای بزرگ به نام فلک حامل به مرکزیت زمین حرکت می کند. همهٔ این‌ها در داخل منطقه‌البروج قرار دارند که کره‌ای است ثابت و ستارگان روی آن استقرار یافته‌اند.[۱۶] مدل بطلمیوس از جهان هستی تا زمان کوپرنیک و تیکو براهه فصل‌الخطاب اخترشناسی باقی ماند.[۱۷]

در روم باستان، «سولکوس پریمیجنیوس»[الف] آیینی بود که پیش از بنانهادن هر شهر، مؤبدان با هدایت خیشی بسته به دو گاو به دور محوطهٔ آن شیاری به شکل دایره رسم می‌کردند و باور بر این بود که این عمل از شهر حفاظت خواهد کرد. در اساطیر رومی نیز رومولوس نیز به دور شهر رم شیاری دایره می‌کِشد و برادرش رموس را به علت ورود به این دایره می‌کُشد.[۱۸]

در امپراتوری اشکانی نیز پایتخت‌ها و شهرهای مهم به شکل دایره ساخته می‌شد. از جملهٔ این شهرها می‌توان از نسا، شهر گور، صددروازه، هترا، و تیسفون پارتی یاد کرد. به گفتهٔ گیرشمن، «طرح این شهرها، عدم امنیت دائمی را که در ایران عهد پارتیان حکفرما بود، عدم ثبات سیاست خارجی و اغتشاشات داخلی را آشکار می‌سازد… طرح عمومی آن‌ها عبارت است از دایره‌ای که از اصول شهرسازی قدیم آسیای غربی اقتباس شده و نیز طرح اردوگاه‌های نظامی قدیم را که در قشون آشوری متداول بوده‌است به خاطر می‌آورد.»[۱۹]

قرون وسطی[ویرایش]

نسخه‌ای از ترجمهٔ عربی مخروطات آپولونیوس

همزمان با حکومت مأمون در خراسان (در قرن سوم هجری)، اخوان ثلاثهٔ بنوموسی دست به ترجمهٔ مخروطات آپولونیوس از یونانی به عربی زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از مخروطات را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در شام نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول مخروطات را با شرح اوتوکیوس پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم مخروطات را به هلال حمصی و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به ثابت بن قره سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم مخروطات تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.[۲۰]

بنوموسی در باب مسئلهٔ تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از پرگار) نیز راه حلی با استفاده از مقاطع مخروطی پیشنهاد کردند. ابوجعفر خازن خراسانی (؟ – ۳۶۰ ه.ق)، ابوسهل بیژن کوهی (؟ – ۴۰۵ ه‍.ق)و ابوسعید سجزی (حدود ۳۳۰ – حدود ۴۱۵ ه.ق) نیز راه‌حل‌هایی در مورد این قضیه ارائه کردند. ابوریحان بیرونی (۳۶۲ – ۴۴۲ ه.ق) هم ۱۲ مسأله طرح کرد و نشان داد با حل شدن هر کدام، مسئلهٔ تثلیث زاویه هم حل می‌شود.[۲۱]

عبدالرحمن صوفی (۲۹۱ – ۳۷۶ ه‍.ق) به درخواست عضدالدولهٔ دیلمی (۳۲۴ – ۳۷۲ ه‍.ق) کتابی با عنوان رسالة فی عمل المتساویة الاضلاع کلها بفتحة واحدة نوشت و در آن ترسیم چندضلعی‌های منتظم را با خط‌کش و پرگاری با دهانهٔ ثابت مطالعه کرد.[۲۲] ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸ – ۳۸۸ ه‍.ق) هم در کتاب فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه[ب] یا اعمال هندسی در مورد ترسیم اشکال هندسی با پرگاری با دهانهٔ ثابت بحث کرده‌است.[۲۳]

غیاث‌الدین جمشید کاشانی (۷۵۸ – ۸۰۸ ه.ق) در الرِسالةُ المُحیطیة نسبت محیط دایره به قطر آن (عدد پی) را تا ۱۶ رقم اعشار محاسبه می‌کند. کاشانی این محاسبات را به کمک دو چندضلعی محاطی و محیطی دایره که هر یک ۳ × ۲۲۸ ضلع دارند انجام می‌دهد. او همچنین در مقدمهٔ مفتاح الحساب می‌نویسد که در رسالهٔ وتر و جیب، که امروز گمشده است، با استفاده از حل جبری معادلات درجهٔ سوم راه حلی برای تثلیث زاویه ارائه کرده بود.[پ][۲۴]

رنسانس و قرون جدید[ویرایش]

طرح آندریاس سلاریوس ‏(en) از منظومه کوپرنیکی, از کتاب هارمونیا ماکروکاسمیکا (۱۶۶۰)
طرحی از نظام براهه‌ای ‏(en)

در دههٔ ۱۵۴۰، کوپرنیک نظریه خورشیدمرکزی‌اش را ارائه کرد. در مدل خورشید‌مرکزی کوپرنیک مسیر حرکت سیارات به دور خورشید به شکل دایره‌هایی به دور دایره (مشابه فلک‌های تدویر و فلک حامل در مدل بطلمیوسی) است. در مدل کوپرنیک:

عطارد در نهایت بر روی هفت دایره می‌چرخد، زهره بر پنج، زمین بر سه، و به دور آن ماه بر چهار، و در نهایت مریخ و مشتری و زحل هر کدام بر پنج. یعنی در کل ۳۴ دایره کافی است تا بتوان همهٔ ساختار گیتی و رقص سیارات را توصیف کرد.

— [۲۵]

کوپرنیک خود می‌دانست که پیچیدگی دایره‌هایی به دور دایره دقیقا با داده‌های ریاضی نمی‌خواند، با این حال به باور او مدل او از مدل بطلمیوسی (که از ۴۰ دایره برای توصیف جهان هستی استفاده می‌کرد) ساده‌تر و دقیق‌تر بود.[۲۶] کوپرنیک در ویرایش‌های بعدی مدلش و برای تطبیق با داده‌های موجود مجبور شد تعداد دایره‌ها را به ۴۸ افزایش دهد. به نوشتهٔ آرتور کستلر در خوابگردها، «وسواس و خیال‌پردازی کوپرنیک نسبت به دایره‌ها و کره‌ها باعث شد مدل او به جای نظام ساده و هماهنگی که می‌توانست باشد به کابوسی دردناک و سردرگم بدل شود.»[۲۷]

در ۱۶۰۲ میلادی، کپلر در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک و با بیان این نکته که هر دایره را با داشتن سه نقطه روی محیط آن می‌توان تعریف کرد و اینکه مکان مریخ در فصل‌های مختلف در صورت سه نقطه‌ای دایره قرار نمی‌گیرد، دایره بودن مدار سیارات را رد کرد.[۲۸] او به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خایوی) است و فواصل بین آنها بر اساس اجسام افلاطونی تعیین می‌شود. تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) با تکیه بر مشاهدات ۳۵ ساله‌اش از حرکت مریخ،[ت] نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد.[۳۰] براهه خود در ۱۵۸۸ نظامی از جهان هستی ارائه کرده بود تا «مزیت‌های فیزیکی مدل بطلمیوسی را با مزیت‌های ریاضیاتی مدل کوپرنیکی» ترکیب کند. در نظام براهه‌ای ‏(en) زمین در مرکز جهان قرار دارد و ماه و خورشید در دایره‌هایی به دور آن می‌گردند، ولی مدار دیگر سیارات (عطارد، زهره، مریخ، مشتری، و زحل) دایره‌هایی است به دور خورشید. براهه همچنین کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پایتخت امپراتوری مقدس روم پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی (برون‌مرکزی‌دار) و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.[۳۱] کپلر همچنین در کتاب هارمونی جهان ‏(en) (۱۶۱۸) مفهوم هارمونی و هم‌نهشتی را به صورت هندسی در ریاضیات، موسیقی، اختربینی، و اخترشناسی مطالعه می‌کند و فواصل مطبوع موسیقی را با شکل دایره متناظر می‌داند. برای مثل به باور کپلر علت اینکه فاصله‌هایی با نسبت ۳:۵ مطبوعند و فاصله‌هایی با نسبت ۳:۷ نامطبوع این است که پنج‌ضلعی را می‌توان را با خط‌کش و پرگار رسم کرد ولی هفت‌ضلعی را نمی‌توان.[۳۲]

نیوتن (۱۶۴۲–۱۷۲۷) در اصول ریاضی فلسفه طبیعی از دایره با عنوان «مسیر»[ث] یاد می‌کند. نیوتن بیست سال پیش از نگارش اصول حرکت دایره‌ای را (که در زمان تعادل کامل گرانش و مرکزگریزی روی می‌دهد) مطالعه و قوانین آن را کشف کرده بود. در صورت عدم تعادل کامل بین گرانش و مرکزگریزی، برون‌مرکزی مسیر حرکت از صفر بیشتر می‌شود و مدار به یکی دیگر از مقاطع مخروطی(بیضی، سهمی، یا هذلولی) بدل می‌گردد.[۳۳] همچنین مبحث خط مماس بر منحنی، راهنمای هر دوی نیوتن و لایبنیتس در ابداع مستقل حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتشار در ۱۶۸۴ میلادی) بود.[۳۴] انتگرال‌گیری (یافتن مساحت زیر یک تابع) در واقع تعریف مدرن مسئلهٔ تربیع دایره (یافتن مستطیلی با مساحت مساوی دایره) است و نیوتن خود به جای «انتگرال‌گیری» (که از تعاریف لایبنیتس گرفته‌شده است) از عبارت «تربیع منحنی»[ج] استفاده می‌کرد.

در تاریخ معاصر[ویرایش]

در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس ثابت کرد که هفده‌ضلعی منتظم را می‌توان با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. پنج سال بعد نیز شرایط قابل رسم بودن چندضلعی منتظم با پرگار و خط‌کش را تدوین کرد و نشان داد که بیشتر چندضلعی‌ها را نمی‌توان با خط‌کش و پرگار ترسیم کرد. گابریل لامه (۱۸۷۰–۱۷۹۵) با تعمیم معادلهٔ بیضی، دایره را به همراه مربع در ردهٔ ابرمعادله ‏(en)‌ها یا «منحنی‌های لامه» دسته‌بندی کرد.[۳۵] در ۱۸۳۷ نیز پیر ونزل با استفاده از نظریهٔ میدان ثابت کرد تثلیث زاویه (تقسیم یک زاویه به سه قسمت مساوی با استفاده از خط‌کش و پرگار) و تضعیف مکعب (ساخت مکعبی با دوبرابر حجم مکعب اولیه با استفاده از خط‌کش و پرگار) مسائلی غیر ممکنند. آگوست دمورگان (۱۸۰۶ – ۱۸۷۱) در کتاب خلاصه‌ای از تناقض‌ها[چ] «ابلهان تناقض‌کار» یعنی «تربیع‌کنان دایره»، «تثلیث‌کنان زاویه»، و «تضعیف‌کنان مکعب» را نقد می‌کند.[۳۶] در ۱۸۸۰ جان ون مفهوم با ترکیب دیاگرام اویلر ‏(en) و آرای جرج بول، نمودار ون را ابداع کرد که در آن مجموعه‌ها به صورت دایره‌های همپوشان تصویر می‌شوند. در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و بنابراین ثابت کرد که تربیع دایره (رسم مربعی با مساحت برابر دایره) مسئله‌ای غیرممکن است. پیت هاین ‏(en) (۱۹۰۵–۱۹۹۶) نیز «ابرمعادله»ٔ ابربیضی‌ها را به‌دست آورد و از آن‌ها در طراحی‌های خود استفاده کرد.[۳۷]

کاربرد[ویرایش]

قطعه‌ای زینتی و دایره‌ای از جنس ابریشم با طرح‌های مغول متعلق به هنر دوره ایلخانی.
تاریخ اثر: حدود ۱۳۰۵ میلادی

دایره کامل‌ترین شکل ریاضیاتی است و در تاریخ تمدن بشری اهمیتی عمده داشته است.[۳۸] تقریبا همهٔ وسایل نقلیه بر اساس چرخش چرخ کار می‌کنند که صفحه‌ای دایره‌شکل است.[۳۹] اغلب ابزار مکانیکی و الکترومکانیکی نیز برای انتقال توان از چرخ‌دنده بهره می‌برند که معمولاً به شکل دایره است.[۴۰] مولدهای الکتریکی هم بر اساس چرخش دوار هادی در میدانی مغناطیسی عمل می‌کنند. مثلث رولو (اشتراک سه دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در تقاطع دو تای دیگر واقع شده‌است) می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.[۴۱] این ویژگی بنیاد سازوکار متهٔ واتز[ح] است.[۴۲] روتور موتور وانکل نیز به شکل مثلث رولو است.

در دین‌ها و فرهنگ‌های مختلف، دایره نماد تکامل، بی‌نهایتی، و الوهیت است.[۴۳] در دین هندو و آیین بودا، ماندالا یا دوایر کیهان‌نما طرح‌هایی پیچیده‌اند که رابطهٔ جهان اصغر[خ] و جهان اکبر[د] به تصویر می‌کشند. در اسلام، دایره نماد «جلال خداوندی» است[۴۴] و در مسیحیت پرگار بیانگر «ابتکار آفرینش» از سوی خدای پدر است.[۴۵] در علوم خفیه دایره شکلی بنیادی است و آیین کشیدن «دایره تعویذ» به دور فرد او را از ارواح خبیث و خطرهای روحانی محافظت می‌کند و برای تبدیل مکان به «حرم غصب‌ناکردنی» به کار می‌رود.[۴۶] صوفی‌ها هم روی زمین دایره‌ای موسوم به «خط عزیمت» می‌کشیدند و درون آن نماز‌هایی با سوره سجده‌دار می‌خواندند.[۴۷] در روانشناسی تحلیلی نیز یونگی‌ها دایره را نماد «خود» می‌دانند.[۴۸]

تعریف دایره[ویرایش]

تعریف اقلیدسی[ویرایش]

دایره مکان هندسی همهٔ نقاطی است که از یک نقطهٔ معین (موسوم به مرکز دایره) فاصله‌ای ثابت (موسوم به شعاع) داشته باشند. یعنی:[۴۹]

این تعریف دایره معادل همان تعریفی است که اقلیدس در اصول ارائه می‌کند:

دایره شکلی مسطح است که در یک خط به نام محیط مظروف شده است، به‌شکلی که همهٔ خط‌های راستی که از یک نقطهٔ معین در داخل آن به محیط کشیده می‌شوند با یکدیگر مساویند.

— اصول اقلیدس، مقالهٔ ۱ گزارهٔ ۱۵[۵۰]

و

نقطهٔ مذکور «مرکز دایره» نام دارد.

— اصول اقلیدس، مقالهٔ ۱ گزارهٔ ۱۶[۵۱]

تعریف آپولونیوسی[ویرایش]

تعریف آپولونیوسی دایره

آپولونیوس نشان داد که دایره را می‌توان به عنوان مکان هندسی همهٔ نقاطی نشان داده که نسبت فواصلشان از دو نقطهٔ ثابت عددی است ثابت و برابر با نسبت فواصل دو نقطهٔ ثابت از دایره. یعنی:

این دو نقطه به «کانون»‌های دایره موسومند. می‌توان با عملیات‌های جبری ساده ثابت کرد که تعریف آپولونیوسی و اقلیدسی معادل یکدیگرند.

دایره به عنوان حالت خاص چندضلعی[ویرایش]

دایره را می‌توان چندضلعی منتظمی با شعاع محاطی[ذ] و شعاع محیطی[ر] دانست که تعداد اضلاع آن به بی‌نهایت میل می‌کند. در هندسه، از دایره‌ای با این تعریف با عناوین بی‌نهایت‌ضلعی ‏(en) و تک‌ضلعی یاد شده‌است.

با این تعریف، محیط دایره برابر است با:[۵۲]

و مساحت آن برابر است با:[۵۳]

که هر دو یکی‌اند، چرا که با میل کردن به بی‌نهایت، و به یک پاره‌خط (شعاع دایره) میل می‌کنند.[۵۴]

به عنوان مقطع مخروطی[ویرایش]

دایره «حالت خاص تبهگون»[ز] از بیضی‌ است که در آن نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچک مساوی‌اند (برون‌مرکزی آن صفر است). ازین رو دایره یکی از مقاطع مخروطی است، به این مفهوم که در محل برخورد مخروطی قائم و صفحه‌ای که با قاعدهٔ آن مخروط موازی باشد دایره پدید می‌آید.[۵۵] در هندسه تصویری، اشتقاق دایره از مخروط معادل تصویر مرکزی مقطع مخروط روی صفحه‌ای است که با قاعدهٔ مخروط موازی است.[۵۶]

ویژگی‌های دایره[ویرایش]

شعاع، قطر، و وتر[ویرایش]

یک دایره با مشخصات آن (مرکز، شعاع)

پاره‌خطی که مرکز دایره را به یکی از نقاط روی محیط دایره وصل می‌کند شعاع نام دارد و می‌توان آن را «بردار شعاع» آن نقطه دانست.[۵۷] شعاع معمولا با حرف لاتین [ژ] نشان داده می‌شود.

قطر دایره حداکثر فاصلهٔ بین دو نقطه روی محیط دایره است و اندازهٔ آن دو برابر شعاع دایره است. هر قطر دایره از مرکز دایره می‌گذرد و دایره را به دو کمان مساوی تقسیم می‌کند. این کمان‌ها نیم‌دایره نامیده می‌شوند. خود قطر هم با مرکز به دو پاره‌خط مساوی تقسیم می‌شود.[۵۸] قطر دایره معمولا با حرف لاتین [س] نشان داده می‌شود.

پاره‌خطی که دو نقطهٔ متمایز از یک دایره را به هم پیوند می‌دهد، وتر[ش] یا زه آن دایره نامیده می‌شود. هر وتری که از مرکز دایره بگذرد حداکثر اندازهٔ ممکن برای وتر یک دایره را دارد و همان قطر دایره است.[۵۹]

خط مماس[ویرایش]

Angles of tangents of circle.svg

خط‌ها یا با دایره در دو نقطه برخورد می‌کنند، یا در یک نقطه، و یا با دایره برخورد نمی‌کنند. هر خطی که با دایره تنها در یک نقطه برخورد کند (آن را در یک نقطه لمس کند) به خط مماس بر دایره در آن موسوم است. خط‌هایی که دایره را در دو نقطه قطع می‌کنند هم خط سکانت نامیده می‌شوند[۶۰] و خطوطی که با دایره برخورد نمی‌کنند «خط پاسان»[ص] نام دارند.

از هر نقطهٔ بیرون دایره، دو خط مماس بر آن دایره می‌توان رسم کرد. این دو مماس طول یکسانی دارند. همچنین اگر از نقطهٔ بیرون دایره‌ای به مرکزیت بتوان دو مماس بر نقاط و روی محیط دایره رسم کرد، زاویه‌های و مکملند.[۶۱] شعاع دایره نیز در نقطهٔ تماس بر خط مماس عمود است.[۶۲]

زاویه مرکزی و زاویه محاطی[ویرایش]

زاویه مرکزی

زاویه‌ای که از برخورد دو شعاع یک دایره پدید می‌آید زاویه مرکزی نام دارد. رأس زوایای مرکزی در مرکز دایره قرار دارد. هر زاویهٔ مرکزی از قرص دایره یک قطاع جدا می‌کند.[۶۳] همچنین هر زاویه مرکزی از محیط دایره یک کمان جدا می‌کند، که به آن کمان نظیر آن زاویه مرکزی گفته می‌شود. طول کمان نظیر هر زاویه مرکزی برابر حاصلضرب شعاع دایره در اندازهٔ آن زاویه مرکزی بر حسب رادیان است . اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی () بر حسب درجه نوشته شود، طول کمان نظیر آن برابر است با .

از برخورد دو خط سکانت روی محیط دایره زاویه محاطی پدید می‌آید. رأس زوایای محاطی روی محیط دایره قرار دارد.[۶۴] هر زاویه محاطی یک کمان از دایره جدا می‌کند که به آن کمان نظیر آن زاویه محاطی گفته می‌شود. اندازه کمان نظیر هر زاویه محاطی در دایره بر حسب درجه نصف اندازه زاویه محاطی روبروی آن کمان است.

کمان، قطاع، و قطعه[ویرایش]

کمان بزرگ و کوچک دایره
کمان (قوس)، قطاع، و قطعه

هر دو نقطه A و B روی محیط دایره آن را به دو کمان تقسیم می‌کند. برحسب عرف، کمان کوچکتر روی دایره (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن کمتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن و کمان بزرگتر (کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن بیشتر از ۱۸۰° باشد) با نقاط دو سر آن و نقطه‌ای در میان آن دو مشخص می‌گردد. کمانی که زاویهٔ مرکزی متناظر آن مساوی ۱۸۰° باشد نیم‌دایره نام دارد.[۶۵] مجموع زوایای متناظر دو کمان حاصل از دو نقطه روی دایره همواره برابر ۳۶۰° است.

قطاع بخشی از قرص دایره است که با دو شعاع (یک زاویهٔ مرکزی) و یک کمان محدود شده‌است. قطعه دایره نیز بخشی از قطاع است که بین کمان و وتر بین دو سر شعاع‌های زاویهٔ مرکزی قرار دارد.

محیط[ویرایش]

اگر شعاع دایره و قطر آن باشد، محیط دایره برابر است با:[۶۶]

این فرمول را می‌توان با استفاده از حسابان و فرمول طول کمان ‏(en) در مختصات قطبی اثبات کرد:

دایره حداقل محیط برای مقدار معین مساحت را دارد.[۶۷] نسبت محیط به قطر دایره با بزرگ و کوچک شدن آن ثابت می‌ماند. این نسبت با علامت (پی) نشان داده می‌شود و می‌توان ثابت کرد که عددی متعالی است.[۶۸][۶۹]

مساحت[ویرایش]

مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مربع شعاع دایره در π

هم چنان که ارشمیدس ثابت کرد، مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مساحت مربعی که ضلعش برابر شعاع دایره است در نسبت محیط دایره به قطر آن (که همیشه عدد ثابت است و با حرف π نشان داده می‌شود.). یعنی:

= = مساحت

دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط را دارد.[۷۰]

اثبات[ویرایش]

مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود:

دایره بر چهار قطاع تقسیم شده.jpg

و به صورت زیر کنار هم چیده شود:

دایره بر چهار قطاع تقسیم شده مرحله 2.jpg

مشاهده می‌شود که شکل حاصل نامتعارف است. اما اگر دایرهٔ مفروض به قطاع‌های بیشتری تقسیم شود و همین روند ادامه یابد، مشاهده می‌شود که شکل به دست آمده به متوازی‌الاضلاع نزدیک می‌شود. به عنوان نمونه در مرحله‌ای که دایره مفروض به هشت قطاع مساوی تقسیم می‌شود، حاصل شکل زیر خواهد بود (که به متوازی‌الاضلاع نزدیک تر است):

دایره بر هشت قطاع تقسیم شده .jpg

اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است.[۷۱] با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الاضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الاضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الاضلاع هم که (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره خواهد بود.[۷۲]

CircleArea.svg

این اثبات را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت:[۷۳]

اِفرازِ صفحه توسط دایره[ویرایش]

دایره صفحه را به سه بخش اِفراز می‌کند:

  1. داخل دایره: مجموعه نقطه‌هایی مانند I، که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، کمتر از شعاع دایره است. داخل دایره به قرص موسوم است.[۷۴]
  2. روی دایره، مجموعه نقطه‌هایی مانند M که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، برابر شعاع دایره است.
  3. خارج دایره، مجموعهٔ نقطه‌هایی مانند که فاصلهٔ آن‌ها از مرکز دایره، از شعاع دایره بیشتر است.

اشتراک دایره‌ها[ویرایش]

عدسی متقارن و نامتقارن

اشتراک دو قرص دایره به عدسی[ض] یا اهلیلجی موسوم است.[۷۵] اگر دو دایره شعاع برابر داشته باشند عدسی متقارن و در غیر این‌صورت عدسی نامتقارن (یا کلی) پدید می‌آید. مساحت عدسی متقارن با شعاع و طول کمان رادیان عبارت است از:

با جدا کردن عدسی از هر یک از دو دایره هلال ایجاد می‌شود. در کل از تقاطع دو دایرهٔ غیرمماس، یک عدسی و دو هلال پدید می‌آید. هلال بقراط، هلالی حاصل از برخورد دو دایره است به‌گونه‌ای که قطر دایرهٔ کوچکتر وتر و شعاع‌های متعامد دایرهٔ بزرگتر اضلاع یک مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه باشند. می‌توان نشان داد که مساحت هلال بقراط با مساحت مثلث مذکور برابر است.

از اشتراک سه قرص دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در نقطهٔ تقاطع دو تای دیگری قرار گرفته باشد مثلث رولو حاصل می‌شود. مثلث رولو حداقل مساحت برای عرض معین در میان منحنی‌هایی با عرض ثابت را دارد. مساحت مثلث رولو ساخته‌شده از دوایری با شعاع عبات است از:[۷۶]

مثلث رولو می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد.[۷۷]

برخی از قضایای دایره[ویرایش]

Thales inscribed angle.gif
قضیهٔ تالس: دایرهٔ محاطی متناظر به نیم‌دایره همواره ۹۰° است.[۷۸]
قضیه 1 دایره.jpg
در هر دایره، قطر عمود بر هر وتر، آن وتر و کمان‌های نظیرِ آن وتر را نصف می‌کند.
قضیه 2 دایره.jpg
در یک دایره، از دو وتر نابرابر، آنکه بزرگتر است، به مرکز دایره نزدیکتر است، و بالعکس.
شکل دیگر: در یک دایره، وترهای مساوی از مرکز دایره به یک فاصله‌اند.[۷۹]
The perpendicular from the centre to the chord bisects the chord.png
عمودمنصف هر وتر دایره از مرکز دایره می‌گذرد.[۸۰]
Chord theorem power.svg
قضیه وتر: در یک دایره، حاصلضرب پاره‌خط‌های روی هر وتر حاصل از تقاطع با یک وتر دیگر برابر با حاصلضرب پاره‌خط‌های حاصل‌شده روی وتر دومی است، یعنی .[۸۱]
Secant-Secant Theorem.svg
اگر دو خط سکانت متقاطع رسم شوند، اندازهٔ زاویه بین آن دو برابر است با نصف تفاضل کمان‌های محاط‌شده ( و )، یعنی .
Five circles theorem.svg
قضیه پنج دایره: هرگاه پنج دایره که مرکزهایشان بر روی محیط دایرهٔ ششمی جای گرفته‌است، یکدیگر را زنجیروار بر روی همان دایره قطع کنند، آنگاه نقطه دوم تقاطع دایره‌ها رئوس داخلی ستاره‌ای پنج‌پرند که رئوس خارجی‌اش بر روی محیط این دایره‌ها جای گرفته‌است.
Cyclic quadrilateral 1.svg
زوایای روبرو در هر چهارضلعی محاطی مکملند (مجموعشان برابر ۱۸۰° است).
Ptolemy Theorem.svg
قضیه بطلمیوس: مجموع حاصلضرب اضلاع روبروی هر چهارضلعی محاطی برابر است با حاصلضرب قطرهای آن. یعنی:

معادله‌های دایره[ویرایش]

نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز (c(h,k و شعاع r

معادله متعارف[ویرایش]

نمودار معادلهٔ دایره‌ای به مرکز مبدأ مختصاتی و شعاع '"`UNIQ--postMath-0000004B-QINU`"'

معادلهٔ دایره‌ای که مرکزش و شعاعش باشد عبارت است از:[۸۲]

اثبات

نقطهٔ روی دایره است اگر و تنها اگر:

یعنی اگر و تنها اگر:

این درست است اگر و تنها اگر:

اگر مرکز دایره در مبدأ مختصاتی قرار بگیرد معادلهٔ آن عبارت است از:

از معادله عام منحنی‌های درجه دو[ویرایش]

برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌‌های درجه دو (یعنی

) دایره باشد، باید را برابر صفر قرار داد و را برابر . با شرط این معادله را می‌توان به شکل زیر نوشت:[۸۳]

که به معادلهٔ کلی دایره موسوم است. برای تبدیل این معادله به معادلهٔ متعارف دایره، می‌توان با استفاده از اتحاد مربع مجموع دو جمله‌ای عبارت بالا را به شکل زیر نوشت:[۸۴]

که در آن . در این معادله مرکز دایره در نقطهٔ و شعاع آن برابر با است. اگر کوچکتر از صفر باشد حاصل یک «دایرهٔ حقیقی»، اگر بزرگ‌تر از صفر باشد دایره حاصل یک «دایرهٔ مجازی»[ط] و اگر برابر صفر باشد حاصل نقطه خواهد بود.[۸۵]

معادله پارامتری[ویرایش]

معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع عبارت است از:[۸۶]

که در آن .

معادلهٔ پارامتری دایره را به صورت عبارت‌های گویا نیز می‌توان نوشت. در این حالت معادلهٔ پارامتری دایره‌ای به شعاع عبارت است از:[۸۷]

طول کمان ، انحنا ، و زاویه مماسی را نیز می‌توان به‌صورت پارامتری نوشت، که عبارتند از:[۸۸]

صورت سه نقطه‌ای[ویرایش]

معادلهٔ دایره‌ای که از سه نقطهٔ به ازای می‌گذرد (یعنی دایرهٔ محیطی مثلثی که رئوسش این سه نقطه‌اند) عبارت است از:[۸۹]

این معادله را می‌توان به صورت معادلهٔ عام منحنی‌های درجه دو نوشت:

که در آن ، مقدار صفر است (چرا که عبارتی قطری بین و در دایره نیست)، و:[۹۰]

در این‌صورت مرکز دایره در نقطهٔ خواهد بود و شعاع آن عبارت است از:[۹۱]

معادله قطبی[ویرایش]

معادلهٔ قطبی دایره به محوریت مرکز آن نوشته می‌شود و شکلی ساده دارد. معادلهٔ قطبی دایره‌ای به شعاع که مرکز آن در مبدأ مختصاتی واقع شده باشد عبارت است از:[۹۲]

اگر مرکز دایره به نقطهٔ منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:[۹۳]

و اگر مرکز دایره به نقطهٔ منتقل شود معادلهٔ قطبی آن عبارت خواهد بود از:[۹۴]

در ابرمعادله[ویرایش]

دایرهٔ واحد به عنوان حالت خاص ابربیضی

اگر در ابرمعادله ‏(en) در دستگاه مختصات قطبی — (

) — ، ، ، و همه مساوی ۲ باشند، منحنی حاصل دایره است.[۹۵]

دایره محاط در یا محیط بر اشکال دیگر[ویرایش]

ترسیم با خط‌کش و پرگار[ویرایش]

ترسیم پنج‌ضلعی با خط‌کش و پرگار

خط‌کش و پرگار تنها ابزارهای مجاز ترسیم در هندسه اقلیدسی اند،[۹۶] تا جایی که هندسهٔ اقلیدسی گاه «هندسهٔ خط‌کش و پرگار» خوانده شده‌است.[۹۷]پرگار ابزاری برای کشیدن دایره بر اساس تعریف اقلیدسی آن است[۹۸] و با خط‌کشی با طول بی‌نهایت می‌توان خط راست کشید، و هدف ریاضی‌دانان اقلیدسی این بود که همهٔ اشکال را با این دو ابزار بسازند.[۹۹] بنابراین در ترسیم با خط‌کش و پرگار تنها از سه اصل اول اصول موضوعه هندسه اقلیدسی می‌توان استفاده کرد. بنابر اثبات گاوس، تنها شکل‌هایی را می‌توان با خط‌کش و پرگار رسم کرد که اندازه‌شان عدد ترسیم‌پذیر ‏(en) باشد. اعداد ترسیم‌پذیر اعدادی‌اند که بتوان آن‌ها را با اعمال چهار عمل اصلی و ریشه دوم بر یک عدد ترسیم‌پذیر دیگر به دست آورد (صفر و یک بنابر تعریف ترسیم‌پذیرند).

ترسیم‌های بنیادی[ویرایش]

ترسیم‌های بنیادی

همهٔ ترسیم‌ها با خط‌کش و پرگار با تکرار و ترکیب پنج ترسیم بنیادی در صفحه صورت می‌گیرند. این پنج ترسیم بنیادی عبارتند از:

  1. ساخت یک خط با داشتن دو نقطه (اصل اول از اصول موضوعه هندسه اقلیدسی)
  2. ساخت یک دایره با داشتن دو نقطه (اصل سوم از اصول موضوعه هندسه اقلیدسی)
  3. ساخت یک نقطه در محل تقاطع دو خط ناموازی
  4. ساخت دو نقطه در محل تقاطع یک خط و یک دایره (در صورت تقاطع)
  5. ساخت دو نقطه در محل تقاطع دو دایره (در صورت تقاطع)

برخی ترسیم‌های خط‌کش و پرگار[ویرایش]

Bisection construction.gif
تنصیف زاویه: برای رسم نیمساز زاویه ابتدا به مرکزیت رأس زاویه (A) کمانی به شعاع دلخواه زده شود و نقاط تقاطع آن با اضلاع زاویه (B و C) مشخص شود. سپس به مرکزیت B و C دو کمان با شعاع مساوی و بزرگتر از نصف BC زده شود. با اتصال نقاط تقاطع این کمان، نیمساز زاویه حاصل می‌شود.[۱۰۰]

ترسیم‌های غیرممکن[ویرایش]

تربیع دایره[ویرایش]

تربیع دایره از مسائل کهن ریاضی است و هدف آن ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که مساحت آن با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد. شکل دیگری از مسئله ترسیم مربعی با خط‌کش و پرگار است که محیط آن با محیط دایرهٔ مفروض برابر باشد.[۱۰۱] در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است، و تربیع دایره غیرممکن است. در زبان انگلیسی «تربیع دایره» (به انگلیسی: squaring the circle) وارد ادبیات شده‌است و همچنین ضرب‌المثلی به مفهوم «عمل غیرممکن» است.[۱۰۲]

تضعیف مکعب[ویرایش]

تضعیف مکعب یا «مسئلهٔ دلوسی» نیز یکی مسائل کهن ریاضی است و هدفش ترسیم مکعبی با خط‌کش و پرگار است که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض باشد؛ به عبارت دیگر هر ضلع مکعب مطلوب باید برابر ضلع مکعب مفروض باشد.[۱۰۳] پیر ونزل در ۱۸۳۷ نشان داد که این مسئله جوابی ندارد.

تثلیث زاویه[ویرایش]

تثلیث زاویه سومین مسئلهٔ بزرگ کهن ریاضی است و هدف آن تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی با خط‌کش و پرگار است.[۱۰۴] پیر ونزل در ۱۸۳۷ نشان داد که این مسئله جوابی ندارد.

در بعدهای بالاتر[ویرایش]

تعمیم دایره در فضای سه‌بعدی کره نام دارد. [۱۰۵]

حاصل اکستروژن موازی دایره استوانه و حاصل اکستروژن مرکزی آن مخروط است.

تعمیم دایره در فضای بعدی به ابرکره موسوم است.[۱۰۶]

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. لاتین: Sulcus Primigenius، به معنای شیار تولد
  2. در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند.
  3. «و رساله‌های دیگر تألیف کردم مانند... و رساله «وتر و جیب» در استخراج آن دو برای یک سوم قوسی که وتر جیب آن معلوم باشد و این نیز یکی از مسائلی است که بر پیشینیان دشوار بوده چنانکه صاحب مجسطی [= بطلمیوس] در آن کتاب گفته است که برای به دست آوردن آن راهی نیست.»
  4. علت اینکه تیکو مریخ را برای مشاهده انتخاب کرد این است که سنتاً حرکت بازگشتی آن نسبت به بقیهٔ‌ «افلاک» طولانی‌تر و مدار آن کمتر مشابه دایرهٔ کامل بوده‌است. عمدهٔ تلاش بطلمیوس در ارائهٔ دوایر تدویر متعدد در واقع توجیه حرکت مریخ بوده‌است.[۲۹]
  5. trajectory
  6. squaring Curve
  7. A Budget of Paradoxes
  8. Watts Brothers Tool Works
  9. microcosm
  10. macrocosm
  11. inradius
  12. circumradius
  13. degenerate case
  14. مخفف radius و جمع آن radii، به معنای پرتو
  15. مخفف diametrus، ترانویسی کلمه یونانی διάμετρος (دیامترون: دیا = حد وسط دو چیز و مترون = اندازه‌گیری)
  16. chord
  17. Passante
  18. lens
  19. virtual circle

منابع[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. MacTutor History of Mathematics
  2. MacTutor History of Mathematics
  3. Davis 2006‏:‎15
  4. MacTutor History of Mathematics
  5. Postnikov & Shenitzer 2000‏:‎645
  6. Davis 2006‏:‎95
  7. Koestler 2017‏:‎31
  8. Koestler 2017‏:‎49
  9. Koestler 2017‏:‎57
  10. Koestler 2017‏:‎63
  11. MacTutor History of Mathematics
  12. Wolfram MathWorld 2003
  13. MacTutor History of Mathematics
  14. Mazer 2011‏:‎11
  15. Davis 2006‏:‎xlii
  16. Koestler 2017‏:‎66-70
  17. Koestler 2017‏:‎66
  18. Riess 2016‏:‎105
  19. زحمت‌کشان ۱۳۸۴‏:‎۳۰–۳۴
  20. هوخندایک و امینی ۱۳۹۲‏:‎۸۶–۹۸
  21. عالم‌زاده و دوست‌قرین ۱۳۸۷‏:‎۱۲۳–۱۴۰‏
  22. میرابوالقاسمی و باقری ۱۳۸۲‏:‎۸۹–۱۴۲‏
  23. میرابوالقاسمی و باقری ۱۳۸۲‏:‎۸۹–۱۴۲‏
  24. میرابوالقاسمی و باقری ۱۳۸۲‏:‎۸۹–۱۴۲‏
  25. Koestler 2017‏:‎146
  26. Koestler 2017‏:‎147
  27. Koestler 2017‏:‎159
  28. Koestler 2017‏:‎324
  29. Koestler 2017‏:‎315
  30. Koestler 2017‏:‎283-300
  31. Koestler 2017‏:‎283-300
  32. Koestler 2017‏:‎390
  33. Koestler 2017‏:‎507
  34. Mazer 2011‏:‎42
  35. Gielis 2003‏:‎21
  36. Davis 2006‏:‎xlii
  37. Gielis 2003‏:‎21
  38. Gielis 2003‏:‎19
  39. Gielis 2003‏:‎19
  40. Gielis 2003‏:‎19
  41. Gielis 2003‏:‎20
  42. Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld
  43. Gielis 2003‏:‎20
  44. بزرگ‌بیگدلی , اکبری‌گندمانی و محمدی‌کله‌سر ۱۳۸۶‏:‎۷۹–۹۸‏
  45. Blunt 1938‏:‎53
  46. Koestler 2017‏:‎77
  47. بزرگ‌بیگدلی , اکبری‌گندمانی و محمدی‌کله‌سر ۱۳۸۶‏:‎۷۹–۹۸‏
  48. بزرگ‌بیگدلی , اکبری‌گندمانی و محمدی‌کله‌سر ۱۳۸۶‏:‎۷۹–۹۸‏
  49. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  50. Euclid , Heath & Densmore 2002, I:15
  51. Euclid , Heath & Densmore 2002, I:16
  52. Wolfram MathWorld 2003
  53. Wolfram MathWorld 2003
  54. Wolfram MathWorld 2003
  55. Wolfram MathWorld 2003
  56. Lockhart 2012‏:‎142
  57. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  58. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  59. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  60. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  61. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  62. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  63. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  64. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  65. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  66. Wolfram MathWorld 2003
  67. Wolfram MathWorld 2003
  68. Wolfram MathWorld 2003
  69. 1911 Encyclopædia Britannica: Circle
  70. Wolfram MathWorld 2003
  71. Wolfram MathWorld 2003
  72. Wolfram MathWorld 2003
  73. Wolfram MathWorld 2003
  74. Wolfram MathWorld 2003
  75. Wolfram MathWorld 2003
  76. Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld
  77. Reuleaux Triangle -- from Wolfram MathWorld
  78. Davis 2006‏:‎15
  79. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  80. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  81. CIRCLE DEFINITIONS AND THEOREMS 2007
  82. Wolfram MathWorld 2003
  83. Gibson 2003‏:‎23
  84. Gibson 2003‏:‎23
  85. Gibson 2003‏:‎23
  86. Wolfram MathWorld 2003
  87. Wolfram MathWorld 2003
  88. Wolfram MathWorld 2003
  89. Wolfram MathWorld 2003
  90. Wolfram MathWorld 2003
  91. Wolfram MathWorld 2003
  92. Wolfram MathWorld 2003
  93. Wolfram MathWorld 2003
  94. Wolfram MathWorld 2003
  95. Gielis 2003‏:‎26
  96. Koestler 2017‏:‎390
  97. Davis 2006‏:‎5
  98. What Is Circle? -- Alexander Bogomolny
  99. Davis 2006‏:‎111
  100. M3210 - Higher Geometry I
  101. Davis 2006‏:‎109
  102. Davis 2006‏:‎109
  103. M3210 - Higher Geometry I
  104. M3210 - Higher Geometry I
  105. Wolfram MathWorld 2003
  106. Wolfram MathWorld 2003

فهرست منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]