حسابان

حسابان (به انگلیسی: Calculus) (یا حساب دیفرانسیل و انتگرال)، که در گذشته به آن حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها (به انگلیسی: Infinitesimal Calculus) می گفتند شاخه ای از ریاضی است. همانگونه که هندسه مطالعه اشکال و جبر تعمیم عملیات حساب (چهار عمل اصلی) است، حسابان به مطالعه ریاضیاتی تغییرات پیوسته می پردازد.

حسابان دارای دو شاخه: حساب دیفرانسیل و حساب انتگرالی است. حساب دیفرانسیل به مطالعه نرخ تغییرات و شیب منحنی ها پرداخته در حالی که حساب انتگرالی به تجمع مقادیر و نواحی تحت منحنی ها می پردازد. این دو شاخه توسط قضیه اساسی حسابان، به یک دیگر مرتبط شده و از مفاهیم بنیادی همگرایی دنباله ها و سری های نامتناهی به یک حد خوش تعریف استفاده می کنند.

حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها به طور مستقل در اواخر قرن ۱۷م میلادی توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت. امروزه حسابان در علوم، مهندسی و اقتصاد کاربردهای گسترده ای پیدا کرده است.

در آموزش ریاضی، حسابان نشانگر درسی مقدماتی از آنالیز ریاضی است که به طور عمده به مطالعه توابع و حدود می پردازد. کلمه حسابان (جمع آن calculi است) یک کلمه لاتین است که معنای اصلی آن سنگ کوچک است. به دلیل این که از تکه های سنگ برای محاسبات استفاده می کردند، معنای این کلمه تکامل یافته و این کاربرد را پیدا کرد. این موضوع شامل موارد دیگری از جمله حساب گزاره‌ای، حساب ریچی، حساب تغییرات، حساب لامبدا و حساب فرآیندی نیز می شود.

تاریخچه

حسابان مدرن در قرن ۱۷م میلادی اروپا توسط ایزاک نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز توسعه یافت (هر کدام مستقل از دیگری در همان حدود زمانی نتایجشان را منتشر کردند). اما عناصری از این مباحث اولین بار در یونان باستان ظهور پیدا کردند، آنگاه در چین و خاورمیانه و سپس در اروپای قرون وسطا و هند ظاهر شدند.

دوران باستان

ارشمیدس از روش افنا برای محاسبه مساحت زیر سهمی استفاده کرد.

در دوره باستانی برخی از ایده ها به حساب انتگرالی منجر شدند. اما به نظر نمی رسد که این ایده ها منجر به رهیافتی نظام مند و استوار شده باشد. محاسبات حجم و مساحت، یکی از اهداف حساب انتگرالی است که می توان رد آن را در پاپیروس مسکو پیدا کرد (دودمان سیزدهم مصر، حدود ۱۸۲۰ قبل از میلاد)؛ اما فرمول های آن دستور العمل های ساده بدون هیچ نشانی از روشی مشخص بودند، به گونه ای که برخی از این دستور العمل ها فاقد مؤلفه های اصلی بودند.

از عصر ریاضیات یونانی، اودوکسوس (حدود ۴۰۸-۳۵۵ قبل از میلاد) از روش افنا (که قبل از کشف مفهوم حد، کاری شبیه به آن را انجام می داد) برای محاسبه مساحت ها و حجم ها استفاده می کرد، در حالی که ارشمیدس (حدود ۲۸۷-۲۱۲ قبل از میلاد) این ایده را بیشتر تکوین داد تا روش اکتشافی را اختراع کرد که شباهت به روش های حساب انتگرالی دارد.

بعدها روش افنا به طور مستقل در چین توسط لیو هوی در قرن سوم پس از میلاد به منظور یافتن مساحت دایره کشف شد. در قرن پنجم پس از میلاد، زو گنگژی، فرزند زو چونگژی، روشی را بنیان نهاد که بعدها به نام روش کاوالیری معروف شد و به کمک آن توانست حجم کره را محاسبه کرد.

قرون وسطی

ابن هیثم، ریاضیدان عرب و فیزیکدان قرن ۱۱م میلادی

در خاورمیانه، ابن هیثم (به لاتین: Alhazen) (965-1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم بدست آورد. او از نتایجی که اکنون به آن انتگرال گیری این تابع می گوییم استفاده کرد، که چنین فرمول هایی برای جمع مربع اعداد صحیح و توان چهارم برای او امکان محاسبه حجم سهمی‌گون را نیز فراهم نمود.

در قرن چهاردهم، ریاضیدانان هندی روشی نا-استوار ارائه نمودند که شبیه دیفرانسیل گیری بود به گونه ای که بر روی برخی توابع مثلثاتی قابل اعمال بود. سپس ماداوا از سانگاراما و مدرسه ریاضیات و نجوم کرالا، مؤلفه های حسابان را بیان نمود. یک نظریه کامل که دربردارنده این مؤلفه ها باشد را اکنون در غرب به نام سری های تیلور یا تقریب های سری های نامتناهی می شناسند. با این حال آن ها قادر نبودند که "ایده های متنوع فراوان مرتبط با مشتق و انتگرال را جهت نشان دادن ارتباط بین این دو متحد ساخته و حسابان را به ابزار حل مسئله بزرگی که امروز داریم تبدیل نمایند".

مدرن

حسابان اولین دستاورد ریاضیات نوین بود و اغراق نیست اگر از اهمیت فراوان آن گفته شود. من فکر می کنم که حسابان واضح تر از هر چیز دیگری، ساختار ریاضیات نوین، و نظام آنالیز ریاضی را که تکوین منطقی آن است، تعریف می کند، و هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکرات دقیق را تشکیل می دهد.

—جان فون نویمان

در اروپا، کار بنیادینی در قالب رساله بوناونتورا کاوالیری صورت گرفت. او بود که مدعی شد حجم ها و مساحت ها را باید به صورت جمع حجم ها و مساحت هایی با مقاطع بی نهایت کوچک نوشت. این ایده ها مشابه کار ارشمیدس در رساله اش به نام روش بود، اما معتقدند که رساله مذکور ارشمیدس در قرن ۱۳م مفقود شده و در قرن ۲۰م میلادی دوباره کشف شده، بنابر این کاوالیری از وجود آن آگاهی نداشته است. کار کاوالیری به خوبی مورد احترام واقع نشد، چرا که روش او منجر به نتایجی آمیخته با خطا می شد، بنابر این روش کمیت های بی‌نهایت‌کوچک‌هایی که او معرفی نمود در ابتدا بد سابقه شد.

مطالعه رسمی حسابان، روش بی‌نهایت‌کوچک‌های کاوالیری و حساب تفاضلات متناهی که در اروپا در همان زمان ها تکوین یافته بود را گرد هم آورد. پیر دو فرما، مدعی شد که مفهوم "تا حد ممکن برابر" (او برای این مفهوم، به کمک زبان لاتین، کلمه adequality را ابداع نمود) را از دیوفانتوس الهام گرفته است. این مفهوم نمایانگر برابری در حد یک جمله خطای بی نهایت کوچک بود. ترکیب این مفاهیم توسط جان ویلیس، ایساک بارو و جیمز گرگوری بدست آمد که دو نفر اخیر دومین قضیه اساسی حساب را در حدود ۱۶۷۰ اثبات کردند.

ایزاک نیوتون از حسابان در قانون حرکت و گرانش خود استفاده کرد

قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای، مفاهیم مشتقات مراتب بالاتر و سری تیلور، و توابع تحلیلی توسط ایزاک نیوتون و با استفاده از نمادگذاری عجیبی به کار گرفته شد تا توسط آن ها مسائلی را در ریاضی-فیزیک حل نماید. نیوتون در کار های خویش، ایده هایش را به گونه ای بازگو نمود تا با روش زمانه مطابقت داشته باشد، اینگونه که محاسبات بی‌نهایت‌کوچک‌ها را با معادل هندسیشان جایگزین نمود. او برای حل مسائلی چون حرکت سیاره ها، شکل سطح یک سیال دورانی، پهن شدگی کره زمین در قطبین (پخ شدگی در قطبین)، حرکت وزنه با سر خوردن روی یک چرخزاد، و بسیاری دیگر از مسائلی که در اثر خود (کتاب Principia Mathematica نوشته شده در ۱۶۸۷ میلادی) مورد بحث قرار داد، از روش حسابان استفاده کرد. او در آثار دیگر خود، بسط سری هایی برای توابع، شامل توان های کسری و غیر گویا به کار برد، به گونه ای که واضح بود که اصل سری تیلور را فهمیده است. اما او تمام این اکتشافات را منتشر نکرد و در آن زمان هنوز استفاده از روش بی‌نهایت‌کوچک‌ها بد سابقه بود و جنبه مناسبی نداشت.

گوتفرید ویلهلم لایبنیز اولین کسی بود که به وضوح قواعد حسابان را بیان نمود

این ایده ها به حساب بی‌نهایت‌کوچک‌های واقعی منجر شد که توسط گوتفرید ویلهلم لایبنیز سامان یافت. نیوتون در ابتدا لایبنیز را به سرقت علمی متهم کرد. او اکنون به عنوان مخترع و کمک کننده مستقل به حسابان به حساب می آید. کمک های او جهت ارائه مجموعه قواعد واضحی برای کار با مقادیر بی‌نهایت‌کوچک‌ها بود که امکان محاسبه مشتقات مراتب دوم و بالاتر را فراهم می کرد و قاعده ضرب و قاعده زنجیره ای را به فرم دیفرانسیلی و انتگرالی ارائه نمود. لایبنیز برعکس نیوتون، توجه بسیاری به صوری سازی می نمود، به گونه ای که اغلب روز ها صرف تعیین نماد مناسبی برای مفاهیم می نمود.

امروزه به هردوی لایبنیز و نیوتون جهت اختراع و توسعه مستقل حسابان اعتبار میدهند. نیوتون اولین کسی بود که حسابان را در فیزیک عمومی به کار برد و لایبنیز هم بخش زیادی از نمادگذاری به کار رفته در حسابان کنونی را اولین بار مورد استفاده قرار داد. بینش های پایه ای که هردوی نیوتون و لایبنیز ارائه نمودند شامل: قوانین دیفرانسیل گیری و انتگرال گیری، مشتقات مرتبه دوم و بالاتر و مفهوم تقریب زدن به کمک سری های چند جمله ای می شود. در زمان نیوتون، قضیه اساسی حساب شناخته شده بود.

زمانی که نیوتون و لایبنیز اولین بار نتایج خویش را منتشر نمودند، جدال فراوانی در مورد این که کدام ریاضیدان (و در نتیجه کدام کشور) مستحق کسب اعتبار است پیش آمد. نیوتون نتایج خود را اولین بار در قالب اثرش به نام Method of Fluxions بدست آورد، در حالی که لایبنیز در اثر خود به نام Nova Methodus pro Maxmis et Minimis. نیوتون مدعی شد که لایبنیز ایده های او را از یادداشت های منتشر نشده اش سرقت کرده، یادداشت هایی که نیوتون با برخی از اعضای جامعه سلطنتی به اشتراک گذاشته بود. این جنجال برای سال ها، شکافی بین ریاضیدانان انگلیسی زبان و ریاضیدانان قاره اروپا پدید آورد که موجب ضربه به ریاضیات انگلیسی زبان شد. بررسی دقیق مقالات لایبنیز و نیوتون نشان داد که آن ها به طور مستقل به این نتایج رسیده و لایبنیز اولین سی بود که به انتگرال گیری و نیوتون به دیفرانسیل گیری رسید. با این حال این لایبنیز بود که این شاخه جدید را نامگذاری کرد، در حالی که نیوتون به آن "علم فلاکسیون‌ها" می گفت.

از زمان لایبنیز و نیوتون، بسیاری از ریاضیدانان به تکوین پیوسته حسابان کمک کردند. یکی از اولین و کامل ترین کار هایی که هم بر روی حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها و هم حساب انتگرالی انجام شد، در سال ۱۷۴۸ توسط ماریا گائتنا آگنسی نوشته شد.

اصول

حدود و بی‌نهایت‌کوچک‌ها

حسابان اغلب با کار روی مقادیر بسیار کوچک توسعه یافته است. از نظر تاریخی، اولین روش آن با کمک بی‌نهایت‌کوچک‌ها صورت گرفت. این ها اشیائی هستند که می توان با آن ها همچون اعداد حقیقی رفتار کرد، اما از جنبه هایی "بی نهایت کوچک" اند. به عنوان مثال، یک عدد بی‌نهایت‌کوچک ممکن است بزرگتر از صفر باشد، اما کوچتر از هر عدد در دنباله $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\cdots$ باشد و لذا از هر عدد حقیقی مثبتی کوچکتر است. از این دیدگاه، حسابان گردایه ای از فنون دستکاری بی‌نهایت‌کوچک هاست. نمادهای $dx$ و $dy$ را نماینده بی‌نهایت‌کوچک ها و مشتق، یعنی $dy/dx$ را صرفاً نسبت این دو در نظر می گرفتند.

رهیافت بی‌نهایت‌کوچک ها در قرن ۱۹م از دور خارج شد چون دقیق کردن مفهوم بی‌نهایت‌کوچک کار سختی بود. با این حال، این مفهوم در قرن بیستم دوباره با معرفی مفهوم آنالیز غیر-استاندارد و آنالیز بی‌نهایت‌کوچک های هموار که بنیان محکمی برای دستکاری بی‌نهایت‌کوچک ها ارائه می نمود، زنده گشت.

در اواخر قرن نوزدهم، بی‌نهایت‌کوچک ها در مجامع علمی با رهیافت اپسیلون و دلتا جهت تعریف حد جایگزین گشت. حدود مقادیر یک تابع را در یک ورودی خاص بر حسب مقادیرش در ورودی های مجاور توصیف می کند. این ابزار، رفتار مقیاس کوچک را در بستر دستگاه اعداد حقیقی دریافت می کند. در این رهیافت، حسابان را می توان گردایه ای از فنون برای دستکاری حدود خاصی در نظر گرفت. بی‌نهایت‌کوچک ها با اعداد بسیار کوچک جایگزین شدند و رفتار بی نهایت کوچک یک تابع با رفتار حدی آن برای مقادیر اعداد کوچک و کوچک تر بدست می آید. تصور این بود که حدود بنیان استواری برای حسابان ارائه کرده و به همین دلیل این رهیافت در قرن بیستم تبدیل به رهیافتی استاندارد شد.

حساب دیفرانسیل

مقالهٔ اصلی: حساب دیفرانسیل

خط مماس در $(x,f(x))$. مشتق $f'(x)$ یک منحنی در یک نقطه برابر شیب خط مماس (ضلع مقابل تقسیم بر مجاور در مثلث قائم الزاویه مربوطه) در آن نقطه است.

حساب دیفرانسیل به مطالعه تعریف، خواص و کاربردهای مشتق یک تابع می پردازد. فرآیند یافتن مشتق را دیفرانسیل‌گیری می نامند. اگر یک تابع و نقطه ای در دامنه آن را در نظر بگیریم، مشتق آن نقطه روشی است که رفتار مقیاس کوچک یک تابع نزدیک آن نقطه را در خود می گنجاند. با یافتن مشتق یک تابع در هر نقطه از دامنه آن، امکان تولید تابعی جدید به نام تابع مشتق یا صرفا مشتق تابع اصلی وجود دارد. به زبان صوری، مشتق عملگری خطی است که یک تابع را به عنوان ورودی گرفته و تابع دیگری را به عنوان خروجی تولید می کند. توصیف اخیر از بسیاری فرآیند های مورد مطالعه در جبر مقدماتی مجرد تر است، که ورودی و خروجی تابع صرفاً اعداد بودند. به عنوان مثال، اگر تابع دوبرابر کننده در نظر گرفته می شد، با ورودی عدد سه، خروجی عدد شش تولید می شد، و اگر تابع مربع سازی در نظر گرفته می شد، با گرفتن ورودی سه خروجی عدد نه می شد. در حالی که مشتق گیری کل تابع مربع ساز را به عنوان ورودی می گیرد، یعنی تمام اطلاعات مربوط به این که هر ورودی عددی آن تابع به چه خروجی عددی می رود، و از روی آن اطلاعات تابع دیگری می سازد که همان تابع دو برابر کننده است.

به زبان صریح تر، "تابع دو برابر کننده" را می توان به صورت $g(x)=2x$ نمایش داد و "تابع مربع ساز" را به صورت $f(x)=x^{2}$. اکنون "مشتق" تابع $f(x)$ را که با عبارت "$x^{2}$" تعریف می شود را به عنوان ورودی می گیرد و از روی آن تابع $g(x)=2x$ را تولید می کند.

رایج ترین نماد برای مشتق، نشانی شبیه به آپاستروف است که به آن پرایم (یا در فارسی پریم) می گویند. لذا، مشتق یک تابع مثل $f$ به صورت $f'$ نوشته شده و آن را "اف پرایم" می خوانند. به عنوان مثال، اگر $f(x)=x^{2}$ تابع مربع ساز باشد، آنگاه $f'(x)=2x$ مشتق آن است (همان تابع دوبرابر کننده که در بالا بحث شد). این نمادگذاری به نمادگذاری لاگرانژ معروف است.

پانویس

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Calculus». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

جهت مطالعه بیشتر

• Boyer, Carl Benjamin (1949). The History of the Calculus and its Conceptual Development. Hafner. Dover edition 1959, ISBN 0-486-60509-4
• Courant, Richard ISBN 978-3-540-65058-4 Introduction to calculus and analysis 1.
• Edmund Landau. ISBN 0-8218-2830-4 Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society.
• Robert A. Adams. (1999). ISBN 978-0-201-39607-2 Calculus: A complete course.
• Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985–1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7.
• John Lane Bell: A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
• Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep. 1923), pp. 1–46.
• Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004.
• Cliff Pickover. (2003). ISBN 978-0-471-26987-8 Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
• Michael Spivak. (September 1994). ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
• Tom M. Apostol. (1967). ISBN 978-0-471-00005-1 Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley.
• Tom M. Apostol. (1969). ISBN 978-0-471-00007-5 Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley.
• Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. (1998). ISBN 978-0-312-18548-0 Calculus Made Easy.
• Mathematical Association of America. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
• Thomas/Finney. (1996). ISBN 978-0-201-53174-9 Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
• Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis:"Calculus", John Willey and Sons Pte. Ltd., 2002. ISBN 978-81-265-1259-1
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards (2010). Calculus, 9th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
• Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2007). Calculus: One and Several Variables (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-69804-3.
• Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals, 7th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano (2008), Calculus, 11th ed., Addison-Wesley. ISBN 0-321-48987-X

کتاب‌‎های آنلاین

• Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF). Archived from the original on 30 May 2013. Retrieved 1 February 2013.
• Crowell, B. (2003). "Calculus". Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6 May 2007 from this
• Garrett, P. (2006). "Notes on first year calculus". University of Minnesota. Retrieved 6 May 2007 from this
• Faraz, H. (2006). "Understanding Calculus". Retrieved 6 May 2007 from this (HTML only)
• Keisler, H.J. (2000). "Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals". Retrieved 29 August 2010 from this
• Mauch, S. (2004). "Sean's Applied Math Book" (pdf). California Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from this
• Sloughter, Dan (2000). "Difference Equations to Differential Equations: An introduction to calculus". Retrieved 17 March 2009 from this
• Stroyan, K.D. (2004). "A brief introduction to infinitesimal calculus". University of Iowa. Retrieved 6 May 2007 from this (HTML only)
• Strang, G. (1991). "Calculus" Massachusetts Institute of Technology. Retrieved 6 May 2007 from this
• Smith, William V. (2001). "The Calculus". Retrieved 4 July 2008 this (HTML only).

پیوندهای خارجی

• "Calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Calculus". MathWorld.
• Topics on Calculus در PlanetMath.
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Calculus on In Our Time at the BBC. (listen now)

• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
• COW: Calculus on the Web at Temple University – contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research
• The Role of Calculus in College Mathematics from ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus from the Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
• Daniel Kleitman, MIT. "Calculus for Beginners and Artists".
• Calculus Problems and Solutions by D.A. Kouba
• Donald Allen's notes on calculus
• Calculus training materials at imomath.com
• (in English and Arabic) The Excursion of Calculus, 1772