دایره واحد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تصویری از دایره‌ای واحد

دایره واحد (پرهون یکا)، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰٫۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است.

اگر (x٫y) نقطه‌ای بر روی دایره واحد در ربع اول باشد آنگاه x و y طول ضلع‌های مثلث قائمه‌ای با وتری به طول یک هستند. بنابراین از قضیه فیثاغورس نتیجه می‌گیریم که x و y در معادلهٔ صدق می‌کنند. این معادله، معادلهٔ دایره‌ای به شعاع ۱ و مرکز مبدأ مختصات است که هر نقطه‌ای بر روی دایرهٔ واحد در آن صدق می‌کند.

صورت‌های نقاط دایره واحد[ویرایش]

  • صورت نمایی:
  • صورت مثلثاتی:

زاویه‌ای است که خط گذرنده از Z و مبدأ مختصات با جهت مثبت محور Xها می‌سازد.

توابع مثلثاتی بر دایرهٔ واحد[ویرایش]

نمایش نسبت‌های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

جهت مثبت دایره مثلثاتی را مخالف جهت حرکت عقربه‌های ساعت در نظر می گیرند.[۱]

نقطه‌ای مانند با مختصات بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که و . از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه که وتر آن به اندازه یک واحد است، داریم که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم علم مثلثات است.

با توجه به خواص دایره مثلثاتی و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس متناوب هستند خواهیم داشت:

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. «رياضيات اول دبيرستان - آموزش گام به گام»(فارسی)‎. شبکه آموزش سیما. 

منابع[ویرایش]

  • توماس، جورج و راس فینی. حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی. ج. ۱. ترجمهٔ مهدی بهزاد و دیگران. چاپ چهاردهم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۸۰۴۰-۲. 
  • براون، جیمز وارد و روئل ونس چرچیل. متغیرهای مختلط و کاربردهای آن. ترجمهٔ امیر خسروی. چاپ سوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۹۰. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۱۳۳۷-۰. 
  • جلیل‌الله قراگزلو. مثلثات پایه. تهران:موسسه فرهنگی فاطمی، ۱۳۸۰. ISBN ۹۶۴-۳۱۸-۰۵۴-۹