بیضی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
مدار ماه به دور زمین به شکل بیضی است.
از سلسله مقالاتی دربارهٔ
مقاطع مخروطی
Krzywe stożkowe fa.svg
سهمی
معادله
برون‌مرکزی ()
راست‌وتر کانونی ()
Parabola (PSF).png Parabola.svg
هذلولی
معادله
برون‌مرکزی ()
راست‌وتر کانونی ()
Hyperbola (PSF).svg Hyperbola2.svg
بیضی
معادله
برون‌مرکزی ()
راست‌وتر کانونی ()
Ellipse-conic.svg CoA dames 220x300.svg
دایره (حالت خاص بیضی)
معادله
برون‌مرکزی ()
راست‌وتر کانونی ()
Konusni presek - Krug.png Disk 1.svg
 •  •  •

در هندسه، بیضی یک خم مسطح (خم محصور در صفحهٔ اقلیدوسی) است که از برخورد یک صفحه با یک استوانه به گونه‌ای یک خم بسته ایجاد شود، حاصل می‌شود. دایره حالت خاص بیضی است که هنگامی به دست می‌آید که صفحهٔ برخوردکننده بر محور استوانه عمود باشد. در هندسه تحلیلی، بیضی به صورت مجموعه نقاطی تعریف می‌شود که نسبت فاصلهٔ هر نقطه از یک نقطه (که آن را کانون بیضی گویند) به فاصلهٔ آن از یک خط راست (که آن را خط هادی گویند) یک عدد ثابت (که آن را برون‌مرکزی یا e گویند) کوچکتر از یک باشد. تعریف دیگر عبارت است از مکان هندسی نقاطی از صفحه که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت مساوی با ثابتی مثبت باشد.

مفهوم بیضی مترادف با مقطع استوانه محدود است. هر مقطع استوانه از برخورد یک استوانه با صفحه‌ای که از محور استوانه می‌گذرد تشکیل می‌شود. دو نوع خم دیگر نیز از برخورد صفحه با مخروط می‌توانند ایجاد شوند، اما این خم‌ها همگی باز و نامحدودند و سهمی و هذلولی خوانده می‌شوند.

بیضی مقطع مخروطی و منحنی لیساژو ‏(en) است.[۱]

تعریف بیضی[ویرایش]

بیضی به عنوان مقطع مخروطی[ویرایش]

بیضی خمی بسته است که از برخورد مخروطی قائم با قاعدهٔ دایره‌ای و صفحه‌ای ناموازی با قاعده، ارتفاع، و هر کدام از وترهای مخروط حاصل می‌شود.[۲]

تعریف بیضی با دو کانون[ویرایش]

تعریف دیگری از بیضی این است که بیضی مکان هندسی همهٔ نقاطی است که مجموع فاصله‌هایشان از دو نقطهٔ ثابت (دو کانون) ثابت است. هر چه فاصلهٔ بین این دو نقطه کمتر باشد، خروج از مرکز بیضی کوچکتر است و شکل بیضی به دایره شبیه‌تر.[۳]

قطر بزرگ بیضی خط راستی است که دو کانون آن را به هم متصل می‌کند و از دو طرف تا منحنی ادامه می‌یابد. قطر کوچک بیضی عمود بر نقطهٔ وسط قطر بزرگ (با فاصلهٔ یکسان از دو کانون) قرار دارد. به دو خطی که به موازات قطر کوچک بیضی رسم می‌شوند و از کانون‌ها می‌گذرند «راست وتر کانونی»[الف] گفته می‌شود.[۴]

تعریف بیضی با یک کانون و یک خط هادی[ویرایش]

بیضی را می‌توان با مسیر نقطه‌ای تعریف کرد که به‌گونه‌ای در صفحه حرکت می‌کند که نسبت فاصله‌اش از یک نقطهٔ خاص (کانون) و فاصله‌اش از خطی صاف (خط هادی) عددی ثابت و کوچکتر از یک باشد. هر مسیری که این شرط را احراز کند همین ویژگی را نسبت به یک کانون و خط هادی دیگر هم دارد، ازین‌رو بیضی را می‌توان با دو کانون و دو خط هادی تعریف کرد. نسبت این فواصل که به خروج از مرکز[ب] موسوم است با مقدار مبین[پ] در معادلهٔ کلی همهٔ مقاطع مخروطی برابر است.

تعریف بیضی با اعمال تجانس بر دایره[ویرایش]

با اعمال تجانس (تبدیل آفین) ، که در آن رأس‌های بزرگ ثابت می‌مانند و رأس‌های کوچک به و منتقل می‌شوند، می‌توان بیضی را به دایره‌ای با شعاع a تبدیل کرد.[۵]

تاریخ و کاربرد[ویرایش]

چرخ‌دنده‌های بیضی‌شکل

اولین کسی که بیضی را مطالعه کرد منایخموس دوست نزدیک افلاطون بود. اقلیدس بررسی دقیقی از ویژگی‌های بیضی ارائه کرد و بلیناس حکیم نیز برای اولین بار نامی بر روی بیضی گذاشت. کانون‌های بیضی و خط‌های هادی را نخستین بار پاپوس اسکندرانی ‏(en) بررسی کرد. در ۱۶۰۲ میلادی کپلر بر این باور بود که مدار مریخ ‏(en) به شکل تخم‌مرغ است ولی بعدها کشف کرد این مدار یک بیضی است و خورشید روی یکی از کانون‌های آن قرار دارد.[۶] عبارت کانون (focus) را نخستین بار کپلر در سال ۱۶۰۹ به کار برد. بنابر قوانین کپلر، برای تطابق با قوانین حرکت نیوتن مدارِ حرکت اجسام آسمانی به دور یکدیگر به شکل بیضی است. در منظومه شمسی، همواره یکی از کانون‌های بیضی مدار سیاره‌ها به‌دور خورشید خود خورشید است.[۷] در سال ۱۷۰۵ ادموند هالی ثابت کرد که دنباله‌داری که امروزه با نام او شناخته می‌شود در مداری بیضوی به دور خورشید می‌گردد.[۸]

می‌توان چرخ‌دنده‌هایی به شکل بیضی ساخت که به نرمی مماس یکدیگر بچرخند.[۹]


معادله بیضی[ویرایش]

یک بیضی یک خم بسته‌است که نسبت به محورهای عمودی و افقی خود متقارن است. دو نقطه بر روی محیط بیضی که در دو سوی مخالف هم قرار دارند، یا به بیان دیگر، دو نقطه که خط واصل میان آن‌ها از مرکز بیضی عبور می‌کند هنگامی در دورترین فاصله نسبت به هم قرار دارند که بر روی قطر بزرگ بیضی یا محور تقارن بزرگتر بیضی قرار گرفته باشند؛ و هنگامی کمترین مقدار را دارد که آن دو نقطه بر روی محور عمود بر قطر بزرگ، یعنی محور تقارن کوچکتر یا قطر کوچک بیضی قرار گرفته باشند.[۱۰]

بیضی به عنوان منحنی درجه دو[ویرایش]

معادله متعارف[ویرایش]

هر معادله درجه دو با فرمول «

» معرف یک بیضی است که مرکزش روی مبدأ مختصاتی، قطر بزرگش روی محور xها، و قطر کوچکش روی محور yها جای دارد. مقادیر a و b فاصلهٔ چهار رأس بیضی را از مرکز آن مشخص می‌کنند، به گونه‌ای که مختصات رأس‌های بزرگ و و مختصات راس‌های کوچک و است.[۱۱] مقدار b به «محور نیم‌کوچک»[ت] و مقدار a به «محور نیم‌بزرگ»[ث] موسوم است.[۱۲] این معادله غالباً به شکل ساده‌تر «

» نوشته می‌شود. اگر مرکز بیضی از مبدأ مختصاتی به نقطهٔ انتقال یابد معادلهٔ بیضی برابر «

» خواهد بود.[۱۳]

معادله عام[ویرایش]

برای اینکه معادلهٔ عام منحنی‌‌های درجه دو (یعنی

) بیضی باشد، باید تعریف کرد که



که در آن ، ، و است. در این معادله اگر باشد حاصل دایره خواهد بود (که حالت خاصی از بیضی است) و اگر حاصل یک نقطه می‌شود. مختصات مرکز این بیضی از معادلات زیر حاصل می‌شود:[۱۴]


و محورهای نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک بیضی عبارت است از:[۱۵]



معادله بیضی[ویرایش]

کانون‌ها روی محور xها

X2/a2+y2/b2 =1 a>b

  • فاصله مرکز تا کانون: 1/2(c=(a2-b2
  • کانونها:(۰،c+_)
  • رأسها:(۰،a+_)
کانون‌ها روی محور yها

X2/b2+y2/a2=1 a>b

  • فاصله مرکز تا کانون :c=(a2-b2)1/2
  • کانونها:(c+_،۰)
  • رأسها:(a+_,۰)

در هر حالت a نصف طول قطر بزرگ و b نصف طول قطر کوچک است.

معادله پارامتریک[ویرایش]

معادلهٔ پارامتریک بیضی را می‌توان با اعمال تجانس‌ (تبدیل آفین) ، بر معادلهٔ پارامتریک دایره واحد (یعنی ) بدست آورد. با این حساب:[۱۶]

برای یافتن معادلهٔ پارامتریک بیضی به صورت عبارت‌های گویا، می‌توان همان تجانس ، را بر معادلهٔ پارامتریک گویای دایره‌ای به شعاع واحد اعمال کرد. در این حالت معادلهٔ پارامتریک بیضی عبارت است از:[۱۷]

مختصات قطبی[ویرایش]

مختصات دوقطبی[ویرایش]

مختصات دو قطبی ‏(en) بیضی‌ای که یکی از کانون‌هایش روی مبدأ مختصات باشد عبارت است از معادلهٔ

که در آن a برابر نصف قطر بزرگ بیضی است.[۱۸]


قضایا و ویژگی‌ها[ویرایش]

کانون‌ها[ویرایش]

Ellipse - caractéristiques.jpg

هر بیضی روی قطر بزرگش دو کانون دارد که با نمادهای و نشان داده می‌شود. مقدار e (خروج از مرکز[ج]) را می‌توان با جایگزین کردن a و b در فرمول محاسبه کرد. با دانستن این فرمول و استفاده از قضیه فیثاغورث، مشخص است که فاصلهٔ رأس‌های کوچک تا و برابر a است. این امر حالت خاصی از ویژگی زیر است:

مجموع فواصل هر نقطهٔ p روی محیط بیضی از دو کانون () برای هر بیضی همواره ثابت است.

— [۱۹]

بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد. برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ را تعریف و در فرمول فاصله جایگزین کرد:

و با استفاده از معادلهٔ بیضی () می‌توان نشان داد که این مقدار برابر است.[۲۰]

خطوط هادی[ویرایش]

اگر محور نیم‌بزرگ بیضی و فاصلهٔ هر کانون بیضی از مرکز آن باشد، دو خط موازی با قطر کوچک بیضی به فاصلهٔ از این قطر به خطوط هادی[چ] بیضی موسومند. می‌توان نشان داد که در هر بیضی نسبت «فاصلهٔ نقطهٔ از هر کدام از کانون‌های بیضی» به «فاصلهٔ از خط هادی متناظر با آن کانون» ثابت و برابر با برون‌مرکزی بیضی است؛ یعنی:[۲۱]

قطرهای مزدوج[ویرایش]

برون‌مرکزی[ویرایش]

یک بیضی و برخی ویژگی‌های ریاضی آن.

فاصلهٔ نقطهٔ کانونی از مرکز بیضی تقسیم بر اندازه نیم قطر بزرگ (a) را خروج از مرکز خطی می‌نامند. خروج از مرکز یک بیضی مقداری بین صفر و یک است، زمانی که خروج از مرکز صفر باشد، کانون با نقطهٔ مرکزی برخورد می‌کند و به شکل دایره در می‌آید؛ و اگر خروج از مرکز به یک نزدیک شود، بیضی حالتی کشیده پیدا می‌کند. در این حالت اگر دو کانون در یک فاصله از هم جدا و محدود قرار بگیرند بیضی به شکل یک پاره خط در می‌آید، واگر یکی از کانون‌ها در جای خود ثابت باقی بماند و دیگری آزادانه جابه‌جا شود بیضی به شکل یک سهمی نزدیک می‌شود.

نیم راست وتر کانونی[ویرایش]

خط مماس[ویرایش]

تعامد خطوط مماس[ویرایش]

نیمساز عمود زاویه بین دو خط کانونی[ویرایش]

نیمساز زاویهٔ بین دو پاره‌خط و همواره بر خط مماس بیضی در نقطهٔ p عمود است.

از این ویژگی نتیجه می‌شود اگر اشعه‌ای از یکی از کانون‌ها به هر نقطه‌ای روی محیط بیضی بتابد به‌سوی کانون دیگر بازتاب می‌شود. این امر در نورپردازی و طراحی آکوستیک ساختمان‌ها کاربرد دارد.[۲۲]

زوایایی محاطی بیضی و حالت سه‌نقطه‌ای[ویرایش]

تقارن[ویرایش]

بیضی نسبت به دو محورش متقارن است.[۲۳]

مساحت[ویرایش]

محیط[ویرایش]

مسئلهٔ بیان محیط دقیق بیضی منجر به ایجاد توابع بیضوی شد که موضوعی مهم در ریاضیات و فیزیک است.[۲۴] محیط بیضی به کمک انتگرال‌های کامل بیضوی نوع دوم قابل محاسبه‌است. البته فرمول صریحی همانند مساحت بیضی که برابر می‌باشد برای محیط بیضی وجود ندارد؛ و محیط بیضی تنها بوسیلهٔ سری نامتناهی قابل محاسبه‌است:

یا

در روابط فوق خروج از مرکز بیضی است. در ضمن خروج از مرکزیت بیضی برابر با فاصلهٔ دو کانون تقسیم بر قطر اطول(۲a) می‌باشد.

خمش[ویرایش]

در هندسه فضایی[ویرایش]

با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به کره‌گون[ح] موسوم است.[۲۵] کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «کره‌گون کشیده»[خ] و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ»[د] نام دارد.[۲۶]

بیضی را می‌توان به عنوان مکان هندسی نقاطی که نسبت «فاصله‌شان از یک نقطه (کانون)» به «فاصله‌شان از یک خط (خط هادی مقطع مخروطی)» ثابت و کوچکتر از یک است تعریف کرد. اگر این نسبت برابر ، فاصلهٔ کانون از مرکز بیضی برابر ، فاصلهٔ خط هادی از مرکز بیضی برابر ، و محور‌های نیم‌بزرگ و نیم‌کوچک و باشند آنگاه:

و با بدست آوردن :

ترسیم[ویرایش]

ترسیم بیضی با روش تور ماهی‌گیری[ویرایش]

ترسیم بیضی با روش تور ماهیگیری

اگر دو رأس یک پاره‌خط را در راستای دو خط متقاطع حرکت دهیم، هر نقطهٔ ثابت روی آن پاره‌خط مکان هندسی کمانی از یک بیضی خواهد بود. ترسیم بیضی با این روش به «روش تور ماهی‌گیری»[ذ] موسوم است.


یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. latus rectum
  2. eccentricity
  3. discriminant
  4. semiminor axis
  5. semimajor axis
  6. eccentricity
  7. directrix
  8. spheroid یا ellipsoid of revolution
  9. prolate spheroid
  10. oblate spheroid
  11. trammel construction of an ellipse

منابع[ویرایش]

پانویس‌ها[ویرایش]

فهرست منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]