افراز مجموعه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
افراز بر روی دایره

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه[۱] (به انگلیسی: Partition of a set) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

تعریف[ویرایش]

فرض کنید مجموعه‌ای غیرتهی باشد. منظور از یک افراز مانند ، یک مجموعه از زیرمجموعه‌های ناتهی است() به قسمی که:

  • اگر و ، آنگاه .

به تعبیر شهودی افراز یک «تقسیم » به قطعه‌هایی مجزا ناتهی است. [۲]

مثال[ویرایش]

مجموعه‌های افراز مجموعهٔ می‌باشند، اما برای افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در نیستند. مجموعه‌های افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی[ویرایش]

برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

[۳]

پانویس[ویرایش]

  1. «اِفراز مجموعه» [ریاضی] هم‌ارزِ «partition of a set»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر پنجم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۷۶-۴ (ذیل سرواژهٔ اِفراز مجموعه)
  2. نظریه مجموعه‌ها و کاربردها. ترجمهٔ عمید رسولیان. ص. ص ۷۳٫. از پارامتر ناشناخته |نویسندگان= صرف‌نظر شد (کمک); از پارامتر ناشناخته |نشر= صرف‌نظر شد (کمک)
  3. (دنباله A000110 در OEIS)

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Partition (Mengenlehre)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی، بازبینی‌شده در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱.