در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه (به انگلیسی : Partition of a set ) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا ) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.
مجموعه‌های
P
=
{
{
1
,
5
}
,
{
2
,
4
,
6
}
,
{
8
,
9
}
}
{\displaystyle P=\left\{\left\{1,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{8,9\right\}\right\}}
M
=
{
1
,
2
,
4
,
5
,
6
,
8
,
9
}
{\displaystyle M=\left\{1,2,4,5,6,8,9\right\}}
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
}
{\displaystyle \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}}
P
{\displaystyle P}
{
{
1
,
2
}
,
{
2
,
3
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\}}
مجموعه‌هایی مجزا نیستند.
افرازهای {1, 2, 3} :
{
{
1
,
2
,
3
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1,2,3\right\}\right\}}
{
{
1
,
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1,2\right\},\left\{3\right\}\right\}}
{
{
1
}
,
{
2
,
3
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1\right\},\left\{2,3\right\}\right\}}
{
{
1
,
3
}
,
{
2
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1,3\right\},\left\{2\right\}\right\}}
{
{
1
}
,
{
2
}
,
{
3
}
}
{\displaystyle \left\{\left\{1\right\},\left\{2\right\},\left\{3\right\}\right\}}
افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.
تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی [ ویرایش ] برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل
B
n
{\displaystyle B_{n}}
اریک تمپل بل ) استفاده می‌شود :
B
0
=
1
,
B
1
=
1
,
B
2
=
2
,
B
3
=
5
,
B
4
=
15
,
B
5
=
52
,
B
6
=
203
,
…
{\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{1}=1,\quad B_{2}=2,\quad B_{3}=5,\quad B_{4}=15,\quad B_{5}=52,\quad B_{6}=203,\quad \ldots }
[۱]
مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Partition (Mengenlehre) دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی
