افراز مجموعه

در نظریه مجموعه‌ها اِفراز یک مجموعه (به انگلیسی: Partition of a set) یعنی تبدیل کردن آن به زیرمجموعه‌هایش به طوری که، اشتراک هر کدام از آن زیرمجموعه‌ها با یکدیگر مجموعه تهی باشد (مجموعه‌های مجزا) و اجتماع تمامی زیر مجموعه‌ها برابر با مجموعه افراز شده باشد.

افراز بر روی دایره

مثال

مجموعه‌های $P = \left\{\left\{1,5\right\},\left\{2,4,6\right\},\left\{8,9\right\}\right\}$ افراز مجموعهٔ $M = \left\{1,2,4,5,6,8,9\right\}$ می‌باشند، اما برای $\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ افراز درستی نیستند، زیرا ۳ و ۷ عضوی از زیرمجموعه‌های موجود در $P$ نیستند. مجموعه‌های $\left\{\left\{1,2\right\},\left\{2,3\right\}\right\}$ افرازی از هیچ مجموعه‌ای نمی‌باشند، چون {1,2} و {2,3} مجموعه‌هایی مجزا نیستند.

افرازهای {1, 2, 3} :

• $\left\{\left\{1, 2, 3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1, 2\right\}, \left\{3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1\right\}, \left\{2, 3\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1, 3\right\}, \left\{2\right\}\right\}$
• $\left\{\left\{1\right\}, \left\{2\right\}, \left\{3\right\}\right\}$

افراز مجموعهٔ تهی، تنها خود مجموعهٔ تهی است.

تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی

برای یافتن تعداد افرازهای یک مجموعهٔ متناهی از عدد بل $B_n$ (به یاد اریک تمپل بل) استفاده می‌شود :

$B_0 = 1, \quad B_1 = 1, \quad B_2 = 2, \quad B_3 = 5, \quad B_4 = 15, \quad B_5 = 52, \quad B_6 = 203, \quad\ldots$

منبع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Partition (Mengenlehre)»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۳ آوریل ۲۰۱۱).