دستگاه مختصات قطبی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
نقاطی در سیستم مختصات قطبی با قطب O و محور قطبی L. نقطه با مختصات شعاعی ۳ و مختصات زاویه‌ای ۶۰ درجه یا (۳، ۶۰ درجه) به رنگ سبز، و نقطه (۴، ۲۱۰ درجه) به رنگ آبی نشان داده شده‌اند.

در ریاضیات، دستگاه مختصات قطبی (به انگلیسی: Polar coordinate system) یک دستگاه مختصات دو بعدی است که در آن هر نقطه از یک صفحه با یک فاصله از یک نقطه مرجع و یک زاویه از یک جهت مرجع تعیین می‌شود. نقطه مرجع (معادل با مبدأ در دستگاه مختصات دکارتی) قطب نامیده شده و پرتوی عبوری از قطب در جهت مرجع، محور قطبی خوانده می‌شود. فاصله از قطب را مختصات شعاعی، فاصله شعاعی یا به صورت ساده شعاع و زاویه را مختصات زاویه‌ای، زاویه قطبی یا آزیموت می‌نامند.[۱] زوایای نماد قطبی معمولاً بر حسب درجه یا رادیان بیان می‌شوند (۲πrad برابر با ۳۶۰ درجه است).

اولین استفاده‌های مشابه که به ایجاد کنونی این دستگاه انجامیده‌است توسط ابوریحان بیرونی انجام شد. جداولی با مختصات قطبی در کارها و کتاب‌های قرن ۱۳ یا ۱۴ میلادی ابوریحان بیرونی موجود است.[۲]

تاریخچه[ویرایش]

مفاهیم زاویه و شعاع قبلاً توسط مردمان باستانی هزاره اول قبل از میلاد استفاده می‌شد. ابرخس، ستاره‌شناس و اخترشناس یونانی (۱۹۰–۱۲۰ قبل از میلاد) جدولی از توابع وتر ایجاد کرد که طول وتر را برای هر زاویه نشان می‌دهد، و از او اشاراتی به استفاده از مختصات قطبی در تعیین موقعیت‌های ستاره‌ای وجود دارد.[۳] ارشمیدس در کتاب "در رابطه با مارپیچ (On Spirals)" مارپیچ ارشمیدسی را توصیف می‌کند، تابعی که شعاع آن به زاویه بستگی دارد. با این حال، این کار یونانی به یک دستگاه مختصات کامل گسترش پیدا نکرد.

از قرن هشتم میلادی به بعد، اخترشناسان مسلمان روش‌هایی را برای تقریب و محاسبه جهت مکه (قبله) - و فاصله آن - از هر مکانی روی زمین توسعه دادند.[۴] از قرن نهم به بعد، آنها از مثلثات کروی و روش‌های پیش‌بینی نقشه برای تعیین دقیق این مقادیر استفاده می‌کردند. این محاسبه در اصل تبدیل مختصات قطبی استوایی مکه (یعنی طول و عرض جغرافیایی آن) به مختصات قطبی آن (یعنی قبله و فاصله آن) نسبت به دستگاهی است که نصف النهار مرجع آن دایره بزرگی است که از طریق مکان داده شده و از قطب‌های زمین می‌گذرد و محور قطبی آن خط عبوری از محل و نقطه پادپای آن است.[۵]

روایت‌های مختلفی از معرفی مختصات قطبی به عنوان بخشی از یک سیستم مختصات رسمی وجود دارد. تاریخچه کامل این موضوع در کتاب خاستگاه مختصات قطبی نوشته استاد دانشگاه هاروارد، Julian Coolidge توضیح داده شده‌است.[۶]

استفاده از اصطلاح "مختصات قطبی" به گِرگوریو فونتانا نسبت داده شده‌است و توسط نویسندگان ایتالیایی قرن ۱۸ استفاده می‌شد. این اصطلاح در انگلیسی در ترجمه جورج طاووس از حساب دیفرانسیل و انتگرال لاکروا در سال ۱۸۱۶ آمده‌است.[۷][۸] الکسی کلرو اولین کسی بود که به مختصات قطبی در سه بعد فکر کرد و لئونارد اویلر اولین کسی بود که واقعاً آن را توسعه داد.[۹]

کاربرد[ویرایش]

یکی از کاربردهای مختصات قطبی در محاسبه انتگرال‌ها می‌باشد. گاهی حل یک انتگرال در دستگاه مختصات دکارتی مشکل است. در این‌گونه شرایط با یک تغییر متغیر مناسب می‌توان انتگرال را در مختصات قطبی حل نمود.

در بسیاری از معادله‌های فیزیکی نیروی مرکزی (حرکت دورانی) مانند چرخش سیاره‌ها از دستگاه قطبی استفاده می‌شود.

نمایش نقاط[ویرایش]

یک نقطه در دو نوع مختصات دکارتی و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند:

و برای تبدیل مختصات دکارتی به قطبی از فرمول‌های زیر استفاده می‌شود:

(قانون فیثاغورس)

بنابراین یک نقطه که توسط دستگاه دکارتی تعریف شده‌است را می‌توان در دستگاه مختصات قطبی (با توجه به خواص دایره مثلثاتی) به دو صورت تعریف کرد.

یک عدد مختلط را می‌توان همانگونه که در دستگاه مختصات دکارتی به صورت نمایش می‌دهند به صورت زیر نمایش داد:[۱۰]

از طریق فرمول اویلر می‌توان یک عدد مختلط رابه صورت زیر نیز نمایش داد:

معادله قطبی[۱۱][ویرایش]

انواع گل‌ها با a و n متغیر

معادله‌ای که در دستگاه مختصات قطبی صدق کند معادله قطبی نامیده می‌شود معروف‌ترین معادله‌های قطبی عبارتند از:

نام معادله تصویر توضیحات
خط مورب مبدأ گذر Functiony=x.jpg C ثابت است و برابر زاویه قطع می‌باشد.
خط موازی محور xها در دستگاه دکارتی FuncionLineal06.svg b ثابت است.
خط موازی محور yها در دستگاه دکارتی FuncionLineal07.svg a ثابت است.
دایره به مرکز مبدأ مختصات Circle r=1.svg C ثابت است و برابر شعاع دایره می‌باشد.
حلزونی‌ها Limacons.svg a و b ثابت‌اند
گل یا Rose 2sin(4theta).svg a ثابت است و اگر n فرد باشد گل nپر و اگر زوج باشد گل ۲nپر است.
مارپیچ ارشمیدس Spiral of Archimedes.svg -
پروانه یا - -
مقاطع مخروطی مرکزدار یا - e برابر خروج از مرکز می‌باشد.
Lemniscate of Bernoulli[۱۲] Lemniscate of Bernoulli.svg

دلگون‌ها[ویرایش]

معادله اصلی دلگون‌ها به صورت می‌باشد اگر a و b مثبت باشند دلگون می‌تواند شکل‌های زیر را بگیرد.

شرط نام تصویر
حلزونی با یک طوقه -
دلوار (قلب شکل) -
حلزونی با یک فرورفتگی -
حلزونی بدون فرورفتگی -

جهت دلگون‌ها به شکل زیر تعیین می‌شود(a و b مثبت هستند):

چند دلگون در جهات مختلف
شکل معادله جهت
راست
چپ
بالا
پایین

مارپیچ‌ها[ویرایش]

معروفترین مارپیچ‌ها عبارتند از:

نام معادله توضیحات
مارپیچ ارشمیدس -
مارپیچ لگاریتمی n ثابت است.
مارپیچ عکس n ثابت است.
مارپیچ فرما -

طول کمان معادلات و انتگرال آنها[ویرایش]

طول کمانی در مختصات قطبی که معادله آن معلوم باشد از محاسبه انتگرال زیر بدست می‌آید:

منابع[ویرایش]

  1. Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason, ed. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
  2. David A. King (۱۹۹۹). World Maps for Finding the Direction and Distance of Mecca: Examples of Innovation and Tradition in Islamic Science-Volume 36 of Islamic philosophy and theology. BRILL. صص. ۳۰۰. شابک ۹۰۰۴۱۱۳۶۷۳.
  3. Friendly, Michael (August 24, 2009). "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization" (PDF). Archived from the original (PDF) on September 26, 2018. Retrieved July 23, 2016.
  4. King, David A. (2005). "The Sacred Geography of Islam". In Koetsier, Teun; Luc, Bergmans. Mathematics and the Divine: A Historical Study. Amsterdam: Elsevier. pp. 162–78. ISBN 0-444-50328-5.
  5. King (2005, p. 169). The calculations were as accurate as could be achieved under the limitations imposed by their assumption that the Earth was a perfect sphere.
  6. Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 59 (2): 78–85. doi:10.2307/2307104. JSTOR 2307104.
  7. Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Retrieved 2006-09-10.
  8. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. p. 324.
  9. Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 59 (2): 78–85. doi:10.2307/2307104. JSTOR 2307104.
  10. خطای یادکرد: خطای یادکرد:برچسب <ref>‎ غیرمجاز؛ متنی برای یادکردهای با نام enwp وارد نشده‌است. (صفحهٔ راهنما را مطالعه کنید.).
  11. لیتهلد, لوئیس (1388). حساب دیفرانسیل و انتگرال. دوم. نشر فاطمی. pp. ۸۵۶–۸۹۵. ISBN 978-964-318-574-9.
  12. Wikipedia contributors, "Lemniscate of Bernoulli," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lemniscate_of_Bernoulli&oldid=362103502 (accessed June 29, 2010).