مجموعه (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
A \subseteq B

مجموعه، از بنداشت‌های (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

نظریه مجموعه‌ها در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی ریاضیات است.

مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضوها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شوند. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابراین منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایهٔ آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعهٔ Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.

تعریف هر مجموعه[ویرایش]

اغلب در نوشته ها یا صحبت های خود کلمه هایی را به کار می بریم که دسته یا گروهی از اشیا یا موجودات را مشخص می کند. در ریاضی این قبیل از کلمه ها از واژه ی مجموعه استفاده می کنیم. منبع : کتاب سال دوم راهنمایی
یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:

  • Aمجموعهٔ نخستین ۴ عدد طبیعی است.
  • B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.

همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:

  • {۱،۲،۳،۴} = C
  • {سبز، سفید، قرمز} = D

البته دو تعریف گوناگون، هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه‌جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

{۱۱،۶}={۶،۱۱}={۶،۱۱،۶،۶}

حال فرض کنید E مجموعهٔ نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگی (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همهٔ عناصر مجموعه غیر عملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:

{۱۰۰۰،...،۱،۲،۳} = E

معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-،۳-،۰،...،۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعهٔ نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:

F={n^۲-۴: ۰ <= n <= ۱۹} ، nЄN

یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به‌طوری که n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارند.

A \cap B
   
A \cup B
   
A \setminus B

مطالب در ارتباط با مجموعه‌ها[ویرایش]

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مجموعه (ریاضی) موجود است.
  • Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977. ISBN 7-238440-12-0