قضیه بطلمیوس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
هنگامی که چهار ضلعی محاطی باشد، حالت تساوی رخ می دهد

اگر \;ABCD یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم AB\times CD+BC\times DA \ge AC\times BD و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که \; ABCD یک چهارضلعی محاطی باشد. توجه: \; AC و \; BD دو قطر چهارضلعی اند.

اثبات[ویرایش]

نقطه \; E طوری انتخاب می کنیم که مثلث \; DCE متشابه با \; ABC شود. حال چون \angle DCE = \angle BCA پس \angle LCD = \angle ACE همچنین به دلیل تشابه دو مثلث \; ABC و \; DCE داریم \frac{BC}{AC}=\frac{DC}{CE} دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث \; BCD و \; ACE دارد و این خود رابطه \frac{AE}{BD}=\frac{AC}{BC} \Rightarrow AE=\frac{AC \times BD}{BC} را نتیجه می دهد. حال در مثلث \; ADE طبق نامساوی مثلثی داریم: AD+DE \ge AE به جای \; AE مقدار \frac{AC \times BD}{BC} را قرار داده و دو طرف نامساوی را در \; BC ضرب می کنیم. رابطه BC \times ad+BC \times DE \ge AC \times BD حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم BC \times DE= AB \times DC که این نیز از تشابه دو مثلث \; ABC و \; DCE به دست می آید.

نتایج[ویرایش]

منابع[ویرایش]

کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی