رأس (هندسه)

نمونه ای از سه راس A,B,C در مثلّثی مختلف الاضلاع.

رَأس (به انگلیسی: vertex) در هندسه، نقطه‌ای است که دو پهلوی مستقیم از یک چندضلعی باز یا بسته به هم می‌رسند. به زبان دیگر، رأس، نوکِ گوشه‌ها یا برخوردگاه‌های خطوط یک شکل هندسی است. از پیوند دادن دو رأس به همدیگر یک خط و از پیوند دادن سه رأس به هم یک سطح پدید می‌آید.

در مدل‌های سه‌بعدی گرافیک رایانه‌ای از رأس‌ها معمولاً برای تعریف سطوح (معمولاً سه‌گوش‌ها) استفاده می‌شود و هر یک از رأس‌ها در این مدل‌ها به عنوان یک بُردار نشان داده می‌شود. در نظریه گراف رأس را گره نیز می‌نامند.

تعریف

زاویه

رأس یک زاویه نقطه‌ای است که در آن دو پرتو آغاز می‌شوند یا به یکدیگر می‌رسند، یا جایی که دو پاره‌خط به هم می‌پیوندند یا تقاطع دارند، یا هر ترکیب مناسبی از پرتوها، پاره‌خط‌ها و خط‌ها که در نهایت موجب تلاقی دو «ضلع» مستقیم در یک نقطه می‌شود.^[۱]^[۲]

چندوجهی

رأس، نقطهٔ گوشه‌ای یک چندضلعی، چندوجهی یا چندوجهی در ابعاد بالاتر است، که از تقاطع ضلع‌ها، وجوه یا پهلوهای آن پدید می‌آید.^[۲]

در یک چندضلعی، رأسی «کوژ» خوانده می‌شود اگر زاویه داخلی آن (یعنی زاویه‌ای که توسط دو ضلع در آن رأس و در درون چندضلعی تشکیل شده) کمتر از π رادیان (۱۸۰ درجه یا دو زاویه قائمه) باشد؛ در غیر این صورت، این رأس را «کاو» یا «بازتابی» می‌نامند.^[۳] به‌طور کلی، رأسی از یک چندوجهی یا چندوجهی بالاتر را کوژ می‌نامند اگر تقاطع آن با کره‌ای کوچک به مرکز آن رأس، کوژ باشد؛ در غیر این صورت، آن را کاو می‌نامند.

تعداد رئوس هر چندضلعی در صفحه برابر تعداد اضلاع آن است.

رأس‌های چندوجهی‌ها با رأس‌های گراف‌ها نیز مرتبط‌اند، زیرا اسکلت یک‌بعدی چندوجهی یک گراف است که رأس‌های آن با رأس‌های هندسی منطبق‌اند،^[۴] و از سوی دیگر، یک گراف را می‌توان یک مجتمع سادکی یک‌بعدی دانست که رأس‌های آن همان رأس‌های گراف هستند.

با این حال، در نظریه گراف، ممکن است یک رأس کمتر از دو یالِ متصل داشته باشد، که در هندسه معمولاً مجاز نیست. همچنین میان رأس‌های هندسی و رأس‌های یک منحنی نیز پیوندی وجود دارد، که همان نقاط دارای خمیدگی بیشینه هستند؛ از این دیدگاه، رأس‌های یک چندضلعی را می‌توان نقاط دارای خمیدگی بی‌نهایت دانست و اگر چندضلعی‌ای با یک منحنی نرم تقریب زده شود، در نزدیکی هر رأس چندضلعی نقطه‌ای با خمیدگی زیاد ظاهر خواهد شد.^[۵]

موزاییک‌کاری صفحه

رأس یک موزاییک‌کاری یا کاشی‌کاری صفحه‌ای، نقطه‌ای است که سه یا بیش از سه کاشی در آن به هم می‌رسند.^[۶] معمولاً، هر چند نه همیشه، کاشی‌ها چندضلعی هستند و رأس‌های موزاییک، همان رأس‌های کاشی‌ها نیز محسوب می‌شوند. به‌طور گسترده‌تر، یک موزاییک را می‌توان نوعی کمپلکس سلولی توپولوژیکی در نظر گرفت؛ همان‌گونه که وجوه یک چندوجهی یا چندوجهی چنین‌اند. در این دیدگاه، رأس‌های کمپلکس‌هایی مانند مجتمع سادکی، وجوه صفر-بعدی آن‌ها هستند.

رأس اصلی

رأس $x i$ از یک چندضلعی ساده $P$ را «رأس اصلی» می‌نامند اگر قطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ فقط در نقاط $x (i - 1)$ و $x (i + 1)$ با مرز $P$ برخورد کند. دو نوع رأس اصلی وجود دارد: «گوش» و «دهان».^[۷]

گوش (Ears)

رأس اصلی $x i$ در چندضلعی ساده $P$ را «گوش» می‌نامند اگر قطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ که رأس را می‌پوشاند، کاملاً درون $P$ قرار گیرد. (نگاه کنید به چندضلعی محدب) طبق قضیه دو گوش، هر چندضلعی ساده دست‌کم دو گوش دارد.^[۸]

دهان (Mouths)

رأس اصلی $x i$ در چندضلعی ساده $P$ را «دهان» می‌نامند اگر قطر $[x (i - 1), x (i + 1)]$ در بیرون مرز $P$ قرار گیرد.

شمار رأس‌های چندوجهی

سطح هر چندوجهی کوژ دارای مشخصه اویلر است:

V-E+F=2,

که در آن $V$ تعداد رأس‌ها، $E$ تعداد ضلع‌ها و $F$ تعداد وجوه است. این معادله به فرمول اویلر برای چندوجهی‌ها معروف است؛ بنابراین تعداد رأس‌ها برابر است با ۲ واحد بیش از اختلاف میان تعداد ضلع‌ها و تعداد وجوه. برای نمونه، چون یک مکعب ۱۲ ضلع و ۶ وجه دارد، طبق این فرمول، باید ۸ رأس داشته باشد.

رأس‌ها در گرافیک رایانه‌ای

در گرافیک رایانه‌ای، اجسام معمولاً به‌شکل چندوجهی‌هایی با وجه‌های مثلثی نمایش داده می‌شوند که در آن‌ها رأس‌های اجسام نه‌فقط شامل مختصات فضایی، بلکه اطلاعات گرافیکی لازم برای نمایش دقیق نیز هستند، مانند رنگ، ویژگی‌های بازتاب، بافت و بردار عمود سطح.^[۹] این ویژگی‌ها در فرایند پردازش تصویر، در سایه‌زنی رأس (بخشی از خط پردازش رأس) به‌کار می‌روند.

پیوند به بیرون

Weisstein, Eric W. "Polygon Vertex". MathWorld.

Weisstein, Eric W. "Polyhedron Vertex". MathWorld.

Weisstein, Eric W. "Principal Vertex". MathWorld.

جستارهای وابسته

رأس (نظریه گراف)
سرسو (سمت‌الرأس)

منابع

↑ خطای یادکرد: خطای یادکرد:برچسب <ref>‎ غیرمجاز؛ متنی برای یادکردهای با نام Sciencing وارد نشده است. (صفحهٔ راهنما را مطالعه کنید.).
1 2 Heath، Thomas L. (۱۹۵۶). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover Publications.
↑ Jing، Lanru؛ Stephansson، Ove (۲۰۰۷). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.
↑ پیتر مک‌مولن، اگون شولته، Abstract Regular Polytopes، انتشارات دانشگاه کمبریج، ۲۰۰۲، صفحهٔ ۲۹.
↑ Bobenko، Alexander I.؛ Schröder، Peter؛ سالیوان، John M.؛ زیگلر، Günter M. (۲۰۰۸). Discrete differential geometry. Birkhäuser. شابک ۹۷۸-۳-۷۶۴۳-۸۶۲۰-۷.
↑ M.V. Jaric، ویرایشگر، Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order، جلد ۲)، Academic Press, 1989.
↑ Devadoss، Satyan؛ O'Rourke، Joseph (۲۰۱۱). Discrete and Computational Geometry. انتشارات دانشگاه پرینستون. شابک ۹۷۸-۰-۶۹۱-۱۴۵۵۳-۲.
↑
↑ Christen، Martin. «Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes». Khronos Group. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۰۹.

Wikipedia-bijdragers, "Knooppunt (wiskunde)," Wikipedia, de vrije encyclopedie, (accessed november 13, 2009).

این یک مقالهٔ خرد هندسه است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.

[Sciencing-1] خطای یادکرد: خطای یادکرد:برچسب <ref>‎ غیرمجاز؛ متنی برای یادکردهای با نام Sciencing وارد نشده است. (صفحهٔ راهنما را مطالعه کنید.).

[Euclid-2] 1 2 Heath، Thomas L. (۱۹۵۶). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Dover Publications.

[3] Jing، Lanru؛ Stephansson، Ove (۲۰۰۷). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.

[4] پیتر مک‌مولن، اگون شولته، Abstract Regular Polytopes، انتشارات دانشگاه کمبریج، ۲۰۰۲، صفحهٔ ۲۹.

[5] Bobenko، Alexander I.؛ Schröder، Peter؛ سالیوان، John M.؛ زیگلر، Günter M. (۲۰۰۸). Discrete differential geometry. Birkhäuser. شابک ۹۷۸-۳-۷۶۴۳-۸۶۲۰-۷.

[6] M.V. Jaric، ویرایشگر، Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order، جلد ۲)، Academic Press, 1989.

[7] Devadoss، Satyan؛ O'Rourke، Joseph (۲۰۱۱). Discrete and Computational Geometry. انتشارات دانشگاه پرینستون. شابک ۹۷۸-۰-۶۹۱-۱۴۵۵۳-۲.

[8] ↑

[opengl-9] Christen، Martin. «Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes». Khronos Group. دریافت‌شده در ۲۶ ژانویه ۲۰۰۹.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]