هندسه جبری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
رویۀ Togliatti
رویۀ Togliatti یک رویۀ جبری درجه پنج است. این تصویر نشان دهندۀ بخشی از مکان هندسی آن در اعداد حقیقی است.

هندسۀ جبری شاخه ای از ریاضیات است، که به طور سنتی به مطالعۀ صفر های چند جمله ای های چند متغیره می پردازد. هندسه جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک های جبر مجرد بنا شده که اساسا از جبر جابجایی استفاده می کند تا مسائل هندسی مربوط به این مجموعه صفر ها (ریشه این چند جمله ای ها) را مطالعه کند.

اشیاء بنیادی که در مطالعه هندسه جبری استفاده می شوند واریته های جبری اند که بیان هندسی حل دستگاهی از معادلات چند جمله ای اند. بیشترین واریته های جبری مطالعه شده خم های جبری صفحه اند که شامل خطوط، دایره ها، سهمی ها، بیضی ها، هذلولی ها، خم های مکعبی مثل خم های بیضوی و خم های درجه چهار مثل lemniscate ها و Cassini oval ها می باشند. یک نقطه از صفحه به خم بیضوی متعلق است اگر مختصات آن در یک معادلۀ چند جمله ای داده شده صدق کند. سوالات بنیادی مربوط به مطالعۀ نقاط خاصی مثل نقاط تکین، نقاط عطف و نقاط در بی نهایت می باشد. سوالات پیشرفته تر مرتبط می شوند به توپولوژی خم و معادلات بین خم های داده شده بوسیله ی معادلات مختلف.

هندسه جبری نقش محوری در ریاضیات مدرن ایفا کرده و پیوند های مفهومی چندگانه ای با شاخه های گسترده ای از ریاضیات چون آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد دارد. در ابتدا مطالعۀ دستگاه معادلات چند جمله ای های چند متغیره موضوع هندسه جبری بود، آنجا که حل معادله از نظر خارج شده و فهمیدن خواص ذاتی جواب دستگاه معادلات اهمیت بیشتری پیدا می کند، آنجاست که هندسه جبری ظاهر می شود، چرا که در این مرحله دیگر یک جواب خاص اهمیت چندانی در مقابل آن خواص ندارد، این ما را به برخی قلمروها می کشاند که برخی از آن ها جزو عمیق ترین قلمرو های ریاضی هستند، چه از نظر مفهومی یا تکنیکی.

در قرن بیستم، هندسه جبری به چندین زیر مجموعه تقسیم بندی شدند:

  • جریان اصلی هندسه جبری به مطالعه ی نقاط مختلط واریته های جبری و به طور عمومی تر نقاطی که مختصات آن ها در میدان بسته جبری قرار دارند می پردازد.
  • هندسه جبری حقیقی به مطالعه نقاط حقیقی یک واریته جبری می پردازد.
  • هندسه سیاله ای و به طور عمومی تر هندسۀ حساب به مطالعۀ نقاط یک واریته جبری که مختصاتشان در میدان های غیر بسته قرار دارند می پردازد، مثل میدان هایی که در نظریه جبری اعداد بحث می شوند چون اعداد گویا، میدان های عددی، میدان های متناهی، میدان توابع و میدان p-adic ها.
  • بخش عمده ی نظریه تکینگی به تکینگی های واریته های جبری می پردازد.
  • هندسه جبری محاسباتی قلمرویی است که با ظهور رایانه ها از برخورد هندسه جبری و جبر رایانه ای بوجود آمده است. این قلمرو عمدتاً شامل طراحی الگوریتم و توسعه نرم افزار برای مطالعه خواص بارز یک واریته داده شده می باشد.

بسیاری از پیشرفت های جریان اصلی هندسه جبری در قرن بیستم در چارچوب جبر مجرد صورت گرفت، با افزایش تأکید بر روی خواص "ذاتی" واریته های جبری که وابسته به هیچ کدام از روش های متفاوت جاسازی آن واریته در فضای مختصاتی اطرافیش (ambient) وابسته نباشد؛ این هدف موازی با پیشرفت در شاخه هایی چون توپولوژی، هندسه دیفرانسیل و هندسه مختلط می باشد. یکی از دستاورد های کلیدی این هندسه جبری مجرد، نظریه اسکیم گروتندیک است که اجازه ی استفاده از نظریه شیف ها برای مطالعۀ واریته های جبری را داده به طوری که این نحوه استفاده شباهت بسیاری به استفاده از آن در مطالعه ی منیفلد های دیفرانسیل و تحلیلی دارد. این دستاورد با توسعه ی مفهوم نقطه بوجود آمد: در هندسه جبری کلاسیک، یک نقطه از واریته آفین را از طریق قضیه صفر های هیلبرت می توان شناسایی کرد، بوسیله ی یک ایده آل ماکسیمال حلقه مختصاتی، در حالی که نقطه متناظر با آن در اسکیم آفین، همگی ایده آل های اولی از این حلقه می باشند. این بدین معناست که یک نقطه از چنین اسکیمی می تواند یا یک نقطه عادی، یا یک زیرواریته باشد. همچنین این رویکرد موجب اتحاد زبان و ابزار های هندسه جبری کلاسیک گشته که به طور عمده با نقاط مختلط، و نظریه جبری اعداد مرتبط می گردد. اثبات وایلز بر حدس فرما به نام آخرین قضیه فرما که به مدت طولانی لاینحل باقی مانده بود، اثباتی بر قدرت این رویکرد می باشد.

تاریخچه[ویرایش]

قبل از قرن شانزدهم[ویرایش]

برخی از ریشه های هندسه جبری به قبل از کار های یونانیان هلنی قرن پنجم قبل از میلاد می رسد. به عنوان مثال مسئله ی تضعیف مکعب این بود که چگونه می توان پاره خطی به طول x ساخت به گونه ای که حجم مکعبی به ضلع x برابر مکعب مستطیلی به ابعاد a2b باشد که در آن a و b به ما داده شده اند. منایخموس (حدود ۳۵۰ قبل از میلاد) این مسئله را به صورت هندسی، با بررسی دو مخروط ay = x2 و xy = ab مورد بررسی قرار داد.[۱] اتفاق بعدی، در قرن سوم قبل از میلاد، مطالعۀ ی نظام مند ارشمیدس و آپولونیوس بر روی مسائل مقاطع مخروطی بود[۲] که در آن از مفهوم مختصات استفاده شد.[۱] ریاضیدانان عرب قادر بودند برخی معادلات مکعبی را صرفاً با روش های خالص جبری حل کرده، سپس نتایج را به وسیله ی هندسه تفسیر کنند. این کار توسط ابن هیثم نیز در قرن ۱۰ بعد از میلاد انجام شد.[۳] سپس ریاضیدان فارسی زبان، عمرخیام (متولد ۱۰۴۸ پس از میلاد) روشی برای حل معادلات مکعبی با استفاده از تقاطع یک دایره و سهمی کشف کرد[۴] و به نظر می رسد که اولین شخصی بود که نظریه عمومی معادلات درجه سوم را درک کرده باشد.[۵] چند سال پس از عمر خیام، کتاب شرف الدین توسی به عنوان المعادلات به عنوان "آغاز راه هندسه جبری" توصیف گشت.[۶]

رنسانس[ویرایش]

چنین تکنیک هایی از کاربرد ساختارهای هندسه در مسائل جبری توسط برخی ریاضیدانان عصر رنسانس نیز چون جرلامو کاردانو و نیکلو تارتالیا نیز در مطالعاتشان بر روی معادلات مکعبی به کار گرفته شد. ریاضیدانان قرن شانزدهم و هفدهم رهیافت هندسی برای ساخت مسائل را در مقابل روش های جبری ترجیح می دادند، بخصوص بلیز پاسکال که در مقابل استفاده از روش های جبری و تحلیلی در هندسه موضع می گرفت.[۷] ریاضیدانان فرانسوی چون فرانسوا ویت و سپس رنه دکارت و پیر دو فرما انقلابی در روش قراردادی تفکر در مورد ساخت مسائل از طریق هندسه تحلیلی بوجود آوردند. آن ها ابتداءً علاقه مند به خواص خم های جبری، مانند آن خم هایی که در معادلات سیاله ای (در مورد فرما) تعریف می شوند و همچنین به فرمول بندی جبری کار های یونانیان در مقاطع مخروطی و درجه سه (در مورد دکارت) علاقه نشان می دادند.

در همین دوره بود که بلیز پاسکال و ژرارد دوسارگ به هندسه از رهیافت دیگری وارد شده و به توسعه ی مفاهیم هندسۀ تصویری پرداختند. پاسکال و دزارگ نیز به مطالعه خم ها پرداختند، اما از دیدگاه صرفاً هندسی آن، یعنی مشابه روش یونانیان ساخت (رسم) با خط کش و پرگار. در نهایت، هندسه تحلیلی دکارت و فرما ازین نبرد پیروز درآمد، چرا که برای ریاضیدانان قرن هجدهم ابزارهای کمی ملموس مورد نیاز آن ها را برای مطالعه مسائل فیزیکی با استفاده از حسابان نیوتون و لایبنیز فراهم نمود. با این حال، در پایان قرن هجدهم، اکثر جنبۀ جبری هندسه تحلیلی (هندسه مختصاتی) توسط لاگرانژ و اویلر تحت عنوان حساب بی نهایت کوچک ها طبقه بندی شد.

قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم[ویرایش]

دو رده تحقیقات همزمان بر روی هندسه نااقلیدسی و انتگرال های آبلی در قرن نوزدهم موجب شدند تا ایده های جبری این دفعه به سوی هندسی خود بازگردند. اولین تلاش ها توسط ادموند لاگر و آرتور کیلی صورت گرفت که تلاش کردند تا خواص متری تعمیم یافتۀ فضای تصویری را تعیین کنند. کیلی ایده ی فرم های چند جمله ای همگن را معرفی کرد، بالاخص فرم های درجه دو بر روی فضای تصویری. سپس فلیکس کلاین هندسۀ تصویری (به همراه انواع دیگر هندسه) را از این نقطه نظر مورد مطالعه قرار داد که اطلاعات هندسه روی یک فضا در تبدیل های آن فضا کد گذاری شده اند. در پایان قرن نوزدهم، هندسه دانان تصویری انواع عمومی تری از تبدیل ها را روی اشکال فضای تصویری مطالعه می کردند. به جای تبدیل های خطی تصویری که معمولا به عنوان ایجاد کنندۀ هندسه کلاینی بنیادی روی فضای تصویری در نظر گرفته می شدند، آن ها خود را درگیر تبدیلات دوسرگویا (birational) ی درجه بالاتر نیز کردند. این مفهوم تناسب ضعیف تر بعد ها در قرن بیستم موجب شد که اعضای مکتب هندسه جبری ایتالیایی رویه های جبری را درحد یکریختی دوسرگویا (birational isomorphism) طبقه بندی کنند.

پیشرفت های اوایل قرن نوزدهم، یعنی انتگرال های آبلی منجر شد که برنهارت ریمان رویه های ریمانی را توسعه دهد.

در همان دوره، جبری سازی هندسه جبری از طریق جبر جابجایی صورت گرفت. نتایج عمده ی این جهتگیری قضیۀ پایه هیلبرت و قضیه صفرهای هیلبرت بود که پایه ی ارتباط بین هندسه جبری و جبر جابجایی بوده، و همچنین برآیند های (resultants) چند متغیره که پایه ی نظریۀ حذف (elimination) می باشد. احتمالاً به علت حجم محاسباتی که برآیند های چند متغیره طلب می کنند، نظریۀ حذف در طی قرن بیستم به فراموشی سپرده شد تا این که توسط نظریۀ تکینگی و هندسۀ جبری محاسباتی مجدداً احیاء گشت. [۸]

قرن بیستم[ویرایش]

ون در واردن، اسکار زاریسکی و آندره ویل بنیان هندسه جبری را بر اساس جبر جابجایی معاصر بنا نهادند که شامل نظریه ارزیافت و نظریه ایده آل ها می شد. یکی از اهدافشان ارائه چارچوبی محکم برای اثبات نتایج مکتب ایتالیایی هندسه جبری بود. بخصوص این که این مکتب به طور نظام مند از مفهوم نقطه جنریک استفاده کرد در حالی که هیچ تعریف دقیقی برای آن ارائه ندادند، آن ها اولین تعریفی که برای این گونه نقاط ارائه دادند در طی دهه ۱۹۳۰ بود.

در دهه ی ۵۰ و ۶۰ میلادی، ژان پیر سر و الکساندر گروتندیک بنیان ها را مجدداً قالب بندی کردند و در این مسیر از نظریه شیف استفاده کردند. سپس، از حدود ۱۹۶۰ همراه با دستگاه ابزار های پالوده شدۀ تکنیک های هومولوژی، روی ایده ی اسکیم ها کار شد، که بیشتر این تلاش ها به رهبری گروتندیک بود. پس از یک دهه پیشرفت سریع، این شاخه در دهه ۱۹۷۰ پایدار گشت، و کاربرد های جدیدی ایجاد شد، هم در نظریه اعداد و هم در سوالات کلاسیک تری که در هندسه در مورد واریته های جبری، تکینگی ها، فضاهای مدولی، و فضاهای مدولی فرمال وجود داشت.

یک دسته مهم از واریته ها، که به راحتی مستقیماً از معادلاتی که آن ها را تعریف می کنند شناخته نمی شوند، واریته های آبلی هستند، که واریته های تصویری هستند که نقاطشان یک گروه آبلی تشکیل می دهند. مثال های نوعی اینگونه واریته های خم های بیضوی می باشند که برای خود نظریه ی غنی ای دارند. این واریته ها در اثبات آخرین قضیه فرما نقش کلیدی داشته و همچنین در رمزنگاری با خم های بیضوی مورد استفاده قرار گرفته اند.

موازی با روند مجرد هندسه جبری که به دنبال احکام عمومی واریته هاست، روش های محاسباتی مؤثری برای واریته های ملموس نیز توسعه یافته اند که منجر به عصر جدیدی از هندسه جبری محاسباتی می گردد. یکی از روش های بنیادی این قلمرو نظریه پایه های گروبنر است که توسط برونو بوچبرگر در ۱۹۶۵ معرفی گشت. یکی دیگر از روش های پایه ای، به طور خاص به هندسه جبری حقیقی اختصاص دارد، این روش تجزیه جبری استوانه ای می باشد که توسط جورج ای. کالینز در ۱۹۷۳ معرفی شده است.

مفاهیم پایه ای[ویرایش]

کره و دایره ی اریب

صفر های همزمان چند جمله ای ها[ویرایش]

در هندسه جبری کلاسیک، علاقه اصلی بر روی اشیائی بود که به طور همزمان مجموعه ای از چند جمله ای ها را ناپدید می کنند (صفر می کنند)، یعنی مجموعه نقاطی که همزمان در یک یا تعداد بیشتری از معادلات چند جمله ای صدق می کنند. به عنوان مثال، کره دو بعدی با شعاع ۱ در فضای اقلیدسی را می توان به صورت مجموعه تمام نقاط (x,y,z) ی تعریف کرد که در این معادله صدق می کنند:

یک دایره ی "اریب" در را می توان به صورت مجموعه نقاط (x,y,z) تعریف کرد که در دو معادله ی چند جمله ای زیر همزمان صدق می کنند:

واریته های آفین[ویرایش]

مقاله اصلی: واریته های آفین

ابتدا با یک میدان شروع می کنیم. در هندسه جبری کلاسیک، این نمیدان همیشه میدان اعداد مختلط بود، اما بسیاری از نتایج با فرض یک میدان جبره بستی چون هم معتبر باقی خواهند ماند. ما فضای آفین بعدی روی را در نظر گرفته و آن را با نمایش می دهیم (یا صرفا با ، زمانی که در متن واضح باشد.). زمانی که دستگاه مختصات ثابت و مشخص باشد، می توان را با یکی گرفت. هدف کار نکردن با این است که ساختار فضای برداری که با خود حمل می کند "فراموش" شود.

یک تابع را چند جمله ای (یا منظم) گویند اگر آن را بتوان به صورت چند جمله ای نوشت، یعنی اگر وجود داشته باشد چند جمله ای چون در به گونه ای که برای هر نقطه با مختصات در داشته باشیم .

زمانی که یک دستگاه مختصات انتخاب شد، توابع منظم روی n-فضای آفین را می توان با حلقه توابع چند جمله ای n متغیره روی یکی گرفت. لذا، مجموعه توابع منظم روی حلقه است و آن را با نمایش می دهند.

می گوییم یک چند جمله ای در نقطه ای ناپدید می شود اگر مقدارش در آن نقطه صفر شود. فرض کنید مجموعه تمام چند جمله ای های درون باشد. مجموعه ناپدید شونده (یا مکان هندسی ناپدید شونده یا مجموعه صفر) مجموعه شامل تمام نقاط درون است که هر چند جمله ای بر روی آن ناپدید می شوند. به طور نمادین:

برای مجموعه ای چون ، زیرمجموعه از را مجموعه جبری می گویند. مخفف کلمه varietry است (یک نوع خاص از مجموعه های جبری که در ادامه تعریف شده است.).

فرض کنید مجموعه ای مثل از داده شده باشد، آیا می توان مجموعه تمام چند جمله ای هایی که آن را تولید کرده اند را یافت؟ اگر زیرمجموعه دلخواهی از باشد، را به این صورت تعریف کنید: مجموعه تمام چند جمله ای هایی که مجموعه صفرشان شامل باشد. اول کلمه ایده‌آل است: اگر دو چندجمله ای و هردو روی ناپدید (صفر) شوند، آنگاه هم روی ناپدید می شود، و اگر یک چند جمله ای دلخواه باشد، آنگاه هم روی ناپدید شده، لذا همیشه یک ایده آل از حلقه چندجمله ای های است.

دو سؤال طبیعی پیش می آیند:

  • برای یک زیرمجموعه دلخواه از ، چه زمان ؟
  • برای یک مجموعه دلخواه از چند جمله ای ها چون ، چه زمان ؟

جواب سؤال اول با معرفی توپولوژی زاریسکی داده شد، یک توپولوژی روی که مجموعه های بسته آن، همان مجموعه های جبری هستند که به طور مستتقیم ساختار جبری را انعکاس می دهند. آنگاه اگر و تنها اگر یک مجموعه جبری یا یک مجموعه بسته زاریسکی باشد. جواب سؤال دوم توسط قضیه صفر های هیلبرت داده می شود. یکی از شکل های این قضیه می گوید که رادیکال ایده آل های تولید شده توسط است. به زبان مجرد تر، یک ارتباط گالوایی وجود دارد که منجر به ظهور دو عملگر بستار می گردد؛ آن ها را می توان شناسایی کرده و به طور طبیعی نقش بنیادینی در این نظریه بازی می کنند؛ مثال مربوطه در بحث مربوط به ارتباط گالوایی تشریح شده است.

به دلایل مختلف، ممکن است همیشه نخواهیمم با کل ایده آل مربوط به یک مجموعه جبری چون کار کنیم. قضیه بنیادی هیلبرت می گوید که ایده آل های درون همیشه متناهیاً تولید شده اند.

یک مجموعه جبری را تحویل ناپذیر گویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه جبری کوچکتر نوشت. هر مجموعه جبری به صورت اجتماع متناهی مجموعه های جبری تحویل ناپذیر بوده و این تجزیه یکتاست. لذا عناصر آن را مؤلفه های تحویل ناپذیر آن مجموعه جبری گویند. به یک مجموعه جبری تحویل ناپذیر واریته هم می گویند. مشخص می شود که یک مجموعه جبری واریته (مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر) است اگر و تنها اگر به صورت مجموعه ناپدید کننده (صفر کننده) یک ایده آل اول از حلقه چند جمله ای باشد.

برخی از مؤلفان تمایز مشخصی بین مجموعه های جبری و واریته ها برقرار نمی کنند و در صورت لزوم از اصطلاح واریته تحویل‌ناپذیر برای ایجاد چنین تمایزی استفاده می کنند.

توابع منظم[ویرایش]

مقاله اصلی: تابع منظم

درست همانگونه که توابع پیوسته نگاشت های طبیعی روی فضاهای توپولوژی و توابع هموار نگاشت های طبیعی روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر اند، دسته ای طبیعی از توابع روی یک مجموعه جبری نیز وجود دارند که به آن ها توابع منظم یا توابع چندجمله ای گویند. یک تابع منظم روی مجموعه ای جبری چون در ، تحدید توابع منظم روی به مجموعه جبری است. برای یک مجموعه جبری که روی میدان اعداد مختلط تعریف شده باشد، توابع منظم هموار و حتی تحلیلی اند.

ممکن است الزام توسعه پذیر بودن یک تابع منظم به کل فضای پیرامونی (ambient) به طور غیر طبیعی محدود کننده به نظر آید، اما این کار شباهت بسیاری به شرایط فضای توپولوژیکی نرمال دارد که در آن قضیه توسعه تیتز تضمین می کند که یک تابع پیوسته روی یک مجموعه بسته همیشه به فضای توپولوژیکی پیرامونی توسعه یابد.

توابع منظم روی ، درست همانند توابع منظم روی فضای آفینی، تشکیل یک حلقه می دهند که با نمایش داده می شود. این حلقه را حلقه مختصاتی روی می نامند.

از آنجا که توابع منظم روی از توابع منظم روی نشأت می گیرند، رابطه ای بین حلقه های مختصاتیشان وجود دارد. بخصوص، اگر یک تابع منظم روی V تحدید دو تابع و در باشد، آنگاه هم یک تابع چند جمله ای خواهد بود که روی ناپدید شده و لذا به تعلق خواهد داشت. ازین‌رو، را می توان با یکی گرفت.

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس ها و منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Dieudonné, Jean (1972). "The historical development of algebraic geometry". The American Mathematical Monthly. 79 (8): 827–866. doi:10.2307/2317664. JSTOR 2317664.
  2. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volume 1). Oxford University Press. pp. 108, 90.
  3. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volume 1). Oxford University Press. p. 193.
  4. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volume 1). Oxford University Press. pp. 193–195.
  5. St Andrews بایگانی‌شده در ۲۰۱۷-۱۱-۱۲ توسط Wayback Machine "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."
  6. Rashed (1994, pp.102-3)
  7. Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Volume 1). Oxford University Press. p. 279.
  8. شاهدی بر این نسیان، این حقیقت است که ون در واردن فصل مربوط به نظریه حذف را از ویرایش سوم (و تمام ویرایش های بعدی) کتاب خویش یعنی رساله جبر مدرن را حذف کرد.


برای مطالعه بیشتر[ویرایش]

بعضی کتب کلاسیک که از نظر تاریخی قبل از اسکیم ها هستند:
کتاب های مرجع مدرن که از زبان اسکیم ها استفاده نمی کنند:
کتاب هایی در مورد هندسه جبری محاسباتی
کتاب های مرجع در مورد اسکیم ها:

پیوند به بیرون[ویرایش]