تثلیث زاویه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تثلیث زاویه

تثلیث زاویه از مسائل قدیمی و حل ناشده ریاضی است.

بزرگان ریاضی در طی دوران براحتی می‌توانستند با کشیدن نیمساز، هر زاویه دلخواه را به دو بخش برابر قسمت کنند، ولی در سه قسمت کردن کمان عاجز بودند. بنابراین تثلیث یا سه بخش کردن زاویه یکی از مسائل عهد باستان گردید.

با آشنایی در حد مثلثات دبیرستانی می‌شود ثابت کرد این مسئله که جزء مسئله‌های طرح شده در شاخه ساختمان‌های هندسی است با کمک پرگار و ستاره (خط‌کش غیر مدرج) قابل حل نیست. ولی با حل یک معادله درجه ۳ ساده می‌توانیم دریابیم که بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث است، از جمله زاویه‌های ۹۰ درجه یا ۴۵ درجه؛ و بی‌نهایت زاویه وجود دارد که با کمک ستاره و پرگار قابل تثلیث نیست، از جمله زاویهٔ ۶۰ درجه. بنابراین، زاویهٔ ۶۰ درجه را نمی‌توان، به کمک پرگار و خط‌کش، به سه بخش برابر تقسیم کرد.

روش‌های ارائه شده برای تثلیث زاویه[ویرایش]

تقسیم یک پاره خط به چند قسمت مساوی با ابزارهای اقلیدسی کار ساده‌ای است و ممکن است چنین باشد که یونانیان باستان در تلاش برای حل مسئله مشابه تقسیم زاویه به چند قسمت، به مسئله تثلیث رسیده باشند. یا شاید به طور محتملتر، مسئله در تلاشهایی برای ساختن یک نه ضلعی منتظم، که در آن تثلیث یک زاویه ۶۰ درجه لزوم پیدا می‌کرد، مطرح شده باشد. در مطالعه مسئله تثلیث به نظر می‌رسد که یونانیان ابتدا آن را به آنچه مسئله گرایش نامیدند، تحویل کردند. هر زاویه حاده ABC را می‌توان به صورت زاویه بین یک قطر BA و یک ضلع BC از یک مستطیل BCAD اختیار نمود. خطی مار بر B که CA را در E و امتداد DA را در F قطع می‌کند، به طوریکه EF = 2(BA)، در نظر بگیرید. فرض کنید G وسط EF باشد. در این صورت EG = GF = GA = BA که در نتیجه زوایای زیر با هم برابرند:

ABG = AGB = GAF + GFA = 2 GFA = 2 GBC

و BEF زاویه ABC را ثلث می‌کند. بنابراین، مسئله به ترسیم پاره خط مستقیمی مانند EF به طول معلوم 2(BA)بین ACو امتداد DA باز می‌گردد به طوری که FE به نقطه B بگراید. وجود اثبات امکان‌ناپذیری حل این مسئله و مسئله‌های مشابه با استفاده از ستاره و پرگار، عده‌ای تلاش می‌کنند این مسائل را حل کنند. در اصطلاح ریاضی‌کاران ایرانی، این عده نوابیغ نامیده می‌شوند. اگر چه زاویه دلخواه را نمی‌توان با ابزارهای اقلیدسی دقیقا تثلیث نمود ولی ترسیمهایی با این ابزار وجود دارند که تثلیثهای بسیار خوبی را بدست می‌دهند مانند ترسیم حکّاک و نقّاش معروف آلبرشت دورر (Albercht Durer) زاویه مفروض AOB را به عنوان یک زاویه مرکزی یک دایره در نظر بگیرید فرض کنید C آن نقطه تثلیث وتر AB باشد که به B نزدیکتر است در c عمود برAB را خارج می‌کنیم تا دایره را در D قطع کند به مرکز B و به شعاع BD قوسی رسم می‌کنیم را AB را در E قطع کند فرض کنید که F آن نقطه تثلیث EC باشد که به E نزدیک تر است دو باره به مرکز B به شعاع BF قوسی رسم می‌کنیم که دایره را در G قطع کند آنگاه OG یک خط تثلیث کننده تقریبی AOB است خطا در این روش با افزایش زاویه افزایش می‌یابد ولی برای زاویه ۶۰ درجه حدود یک شستم زاویه (ثانیه) است.

تثلیث زاویه، به همراه تربیع دایره، تضعیف مکعب و چندضلعی‌های منتظم محاط در دایره از مسائل سه‌گانه عهد باستان است طی قرن‌ها حل نشده باقی‌مانده بود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

مطالعه بیشتر[ویرایش]

نظری ساختمان‌های هندسی، اوت آدلر، ترجمه پرویز شهریاری، انتشارات فردوس چاپ اول ۱۳۶۸، صفحات ۲۷۹ تا ۲۹۰

کتاب: آشنایی با تاریخ ریاضیات [هاوردو. ایوز] ترجمه محمد قاسم وحیدی اصل