روش افنا

این مقاله دربارهٔ روش یافتن مساحت و حجم با تقریب‌های پیاپی است. برای روش اثبات، برهان به روش افنا را ببینید.

روش اِفْناء (روش مانده‌کاهی) روشی در ریاضیات یونان باستان برای تعیین مساحت یا حجم شکل‌های هندسی است. در این روش، شکل مورد نظر با دنباله‌ای از شکل‌های ساده‌تر، برای نمونه چندضلعی‌های محاطی، تقریب زده می‌شود؛ به‌گونه‌ای که اختلاف میان مساحت یا حجم شکل‌های تقریبی و شکل اصلی بتواند از هر مقدار از پیش تعیین‌شده‌ای کوچک‌تر شود. در زبان ریاضیات امروزی می‌توان این فرایند را نوعی نزدیک‌شدن به حد دانست، اما ریاضی‌دانان یونانی نظریهٔ حد به معنای امروزی را به‌کار نمی‌بردند و نتیجه را معمولاً با برهان خلف اثبات می‌کردند.

در یک کاربرد معمول، نخست مقداری به‌عنوان مساحت یا حجم مورد نظر پیشنهاد می‌شود. سپس نشان داده می‌شود که اگر مقدار واقعی از آن بزرگ‌تر یا کوچک‌تر باشد، با ساختن تقریب‌هایی به‌اندازهٔ کافی دقیق تناقضی به دست می‌آید. در نتیجه تنها امکان باقی‌مانده برابری دو مقدار است. از این رو، برخلاف روش‌های عددیِ صرف، افنا در ریاضیات یونانی عمدتاً شیوه‌ای برای اثبات برابری مساحت‌ها و حجم‌ها بود.

اندیشهٔ اولیهٔ این روش معمولاً به آنتیفون در اواخر سدهٔ پنجم پیش از میلاد نسبت داده می‌شود، هرچند میزان شناخت او از مبانی روش روشن نیست. صورت دقیق آن را چند دهه بعد ائودوکسوس کنیدوسی پرورش داد. روش افنا در کتاب دوازدهم اصول اقلیدس به‌صورت منظم به کار رفته و ارشمیدس بعدها آن را با مهارت فراوان برای تعیین مساحت‌ها، حجم‌ها، سطح‌ها و طول کمان‌ها گسترش داد.

اصطلاح «افنا» خود در دوران باستان برای این روش به‌کار نمی‌رفت. اصطلاح لاتینی methodus exhaustionis در سدهٔ هفدهم و در ارتباط با آثار گرگوآر د سن-ویسنت رواج یافت؛ او در اثر خود Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum در سال ۱۶۴۷ این تعبیر را به‌کار برد.

مبنای روش

پایهٔ روش افنا اصلی است که در گزارهٔ نخست کتاب دهم اصول اقلیدس دیده می‌شود: اگر از یک کمیت، بیش از نصف آن کاسته شود و این عمل بر باقی‌مانده پیوسته تکرار شود، سرانجام باقی‌مانده از هر کمیت مثبتِ از پیش داده‌شده‌ای کوچک‌تر خواهد شد.

در زبان امروزی، اگر $A$ مساحت شکل مورد نظر و $A_{n}$ مساحت شکل‌های محاطی باشد، می‌توان تقریب را به صورت

$A-A_{n}<\varepsilon$

برای هر $\varepsilon >0$ و برای $n$ به‌اندازهٔ کافی بزرگ بیان کرد. با این حال، این صورت‌بندی جدید نباید به متن اقلیدس نسبت داده شود؛ اقلیدس از مفهوم عدد حقیقی، اپسیلون یا حد به معنای امروزی استفاده نمی‌کرد.

روش کلاسیک معمولاً از برهان خلف بهره می‌گرفت. برای اثبات اینکه دو مساحت $A$ و $B$ برابرند، ابتدا فرض می‌شد

$A>B$

و سپس با افنای اختلاف میان مقادیر، این فرض به تناقض می‌انجامید. پس از آن فرض

$A<B$

نیز به همین شیوه رد می‌شد و در نتیجه

$A=B$

باقی می‌ماند.

تاریخچه

آنتیفون و ائودوکسوس

پیشینهٔ اندیشهٔ افنا به مسئلهٔ تربیع دایره در ریاضیات یونان بازمی‌گردد. آنتیفون پیشنهاد کرده بود که درون دایره چندضلعی‌های منتظم محاط شوند و با دوبرابر کردن پی‌درپی شمار ضلع‌های آنها، فضای میان چندضلعی و محیط دایره کاهش یابد. با این حال، روشن نیست که او محدودیت‌های منطقی این فرایند را تا چه اندازه دریافته بود.

ائودوکسوس کنیدوسی در سدهٔ چهارم پیش از میلاد مبنایی دقیق‌تر برای چنین استدلال‌هایی فراهم کرد. روش او بر خاصیتی از کمیت‌ها استوار بود که بعدها با اصل ارشمیدسی ارتباط داده شد: اگر دو کمیت مثبت داشته باشیم، با افزودن یک کمیت کوچک به خودش به تعداد کافی، سرانجام می‌توان از کمیت بزرگ‌تر فراتر رفت.

این بنیاد اجازه می‌داد نشان داده شود که اختلاف باقی‌مانده میان شکل و تقریب‌های درون آن می‌تواند از هر کمیت مثبت داده‌شده‌ای کوچک‌تر شود.

اقلیدس

اقلیدس در کتاب دوازدهم اصول اقلیدس روش افنا را در اثبات چند قضیهٔ مهم دربارهٔ مساحت‌ها و حجم‌ها به کار می‌گیرد. شش نمونهٔ برجسته عبارت‌اند از:

• گزارهٔ ۲: مساحت دو دایره همان نسبتی را با یکدیگر دارد که مربع قطرهای آنها.
• گزارهٔ ۵: حجم دو هرم سه‌گوش با ارتفاع برابر، متناسب با مساحت قاعده‌های آنهاست.
• گزارهٔ ۱۰: حجم مخروط یک‌سوم حجم استوانه‌ای است که قاعده و ارتفاع یکسانی با آن دارد.
• گزارهٔ ۱۱: حجم مخروط‌ها یا استوانه‌های هم‌ارتفاع متناسب با مساحت قاعده‌های آنهاست.
• گزارهٔ ۱۲: حجم مخروط‌ها یا استوانه‌های متشابه به نسبت مکعب قطرهای قاعده‌های آنهاست.
• گزارهٔ ۱۸: حجم کره‌های مختلف به نسبت مکعب قطرهای آنهاست.

یکی از روشن‌ترین نمونه‌ها گزارهٔ دوم کتاب دوازدهم است. برای مقایسهٔ مساحت دو دایره، در هر یک چندضلعی‌های منتظمی با شمار ضلع برابر محاط می‌شوند. با دوبرابر کردن پیاپی شمار ضلع‌ها، اختلاف مساحت میان هر دایره و چندضلعی محاطی آن را می‌توان از هر مقدار داده‌شده‌ای کوچک‌تر کرد. سپس با برهان خلف نشان داده می‌شود که نسبت مساحت دو دایره نمی‌تواند بزرگ‌تر یا کوچک‌تر از نسبت مربع قطرهای آنها باشد و بنابراین باید دقیقاً با آن برابر باشد.

ارشمیدس

ارشمیدس با مقایسهٔ چندضلعی‌های منتظم محاطی و محیطی با دایره، کران‌هایی برای عدد پی به دست آورد.

ارشمیدس روش افنا را بسیار گسترده‌تر از پیشینیان به کار گرفت. او با استفاده از چندضلعی‌های محاطی و محیطی، مساحت دایره و کران‌هایی برای عدد پی به دست آورد و این فرایند را تا چندضلعی‌های منتظم ۹۶ضلعی ادامه داد.

او نشان داد:

$3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}.$

ارشمیدس روش افنا را همچنین برای نتایجی از این دست به کار برد:

• مساحت قطعهٔ سهمی برابر چهار سوم مساحت مثلثی است که قاعده و ارتفاع یکسانی با آن دارد؛
• مساحت بیضی با حاصل‌ضرب محورهای بزرگ و کوچک آن متناسب است؛
• حجم کره چهار برابر حجم مخروطی است که شعاع قاعده و ارتفاع آن هر دو برابر شعاع کره باشند؛
• حجم استوانه‌ای که ارتفاعش برابر قطر قاعده باشد، سه‌دوم حجم کره‌ای با همان قطر است؛
• مساحت ناحیهٔ محصور در یک دور مارپیچ ارشمیدس یک‌سوم مساحت دایرهٔ متناظر است.

کار ارشمیدس با روش افنا همچنین به محاسبهٔ موفق یک سری هندسی انجامید.

چین

روشی نزدیک به افنا در سدهٔ سوم میلادی، مستقل از سنت یونانی، در ریاضیات چین پدید آمد. لیو هوی برای تعیین مساحت دایره، چندضلعی‌های منتظم محاطی با شمار ضلع‌های پیوسته بیشتر را بررسی کرد و از این راه تقریب‌های فزاینده‌ای برای مساحت دایره و مقدار عدد پی به دست آورد.

دورهٔ جدید

گرگوآر د سن-ویسنت؛ اصطلاح «افنا» در سدهٔ هفدهم با آثار او رواج یافت.

گرگوآر د سن-ویسنت اصطلاحی را که بعدها «روش افنا» نام گرفت در سال ۱۶۴۷ در اثر خود دربارهٔ تربیع دایره و مقاطع مخروطی به کار برد.

در سده‌های هفدهم تا نوزدهم، با توسعهٔ هندسه تحلیلی و سپس صورت‌بندی دقیق حساب انتگرال، روش افنا به‌تدریج جایگاه خود را به دستگاه عمومی‌تر حد و انتگرال داد. با این حال، از نظر تاریخی یکی از مهم‌ترین پیش‌زمینه‌های حساب انتگرال محسوب می‌شود.

یکی از رویکردهای متفاوت در همین دوره اصل کاوالیری بود که در پیوند با «روش تجزیه‌ناپذیرها» قرار داشت و در کار ریاضی‌دانانی چون ژیل دو روبروال، اوانجلیستا توریچلی، جان والیس و گوتفریت لایبنیتس به تحول حساب بی‌نهایت‌کوچک‌ها کمک کرد.

گالیلئو گالیله نیز از روش افنا برای یافتن مرکز جرم مخروط ناقص استفاده کرد. اندکی پیش از شکل‌گیری حسابان جدید، کریستوفر رن با استفاده از این روش طول دقیق کمان چرخ‌زاد را به دست آورد.

نمونه: مساحت مارپیچ ارشمیدس

مساحت یک دور مارپیچ ارشمیدس $r=\theta$ یک‌سوم مساحت دایرهٔ محیط بر آن است.

ارشمیدس مساحت یک دور از مارپیچ ارشمیدس را محاسبه کرد. اگر $S$ ناحیهٔ یک دور مارپیچ

$r=\theta$

و $C$ دایرهٔ محیط بر آن باشد، نتیجه چنین است:

$a(S)={\frac {1}{3}}a(C).$

برای طرح کلی برهان، فرض می‌شود برخلاف حکم مورد نظر

$a(S)<{\frac {1}{3}}a(C).$

بازهٔ $[0,2\pi ]$ به $n$ قسمت مساوی با اندازهٔ

$\theta ={\frac {2\pi }{n}}$

تقسیم می‌شود. برای هر قسمت، قطاع‌هایی درون و بیرون مارپیچ ساخته می‌شوند. اگر اجتماع قطاع‌های داخلی را $P$ و اجتماع قطاع‌های خارجی را $Q$ بنامیم، خواهیم داشت

$a(P)<a(S)<a(Q).$

با افزایش $n$ می‌توان اختلاف

$a(Q)-a(P)$

را از هر مقدار مثبت دلخواه کوچک‌تر کرد.

تقریب درونی و بیرونی مارپیچ برای $n=8$.

اگر

$\varepsilon ={\frac {1}{3}}a(C)-a(S)$

تعریف شود، از فرض آغازین $\varepsilon >0$ است. با انتخاب تقسیم‌بندی به‌اندازهٔ کافی ریز می‌توان

$a(Q)-a(P)<\varepsilon$

داشت که سرانجام به

${\frac {1}{3}}a(C)>a(Q)$

می‌انجامد.

اما مساحت $Q$ مستقیماً از مجموع مساحت قطاع‌ها محاسبه می‌شود:

$${\begin{aligned}a(Q)&={\frac {\theta }{2}}r_{1}^{2}+{\frac {\theta }{2}}r_{2}^{2}+\cdots +{\frac {\theta }{2}}r_{n}^{2}\\&={\frac {\theta }{2}}\left(\theta ^{2}+(2\theta )^{2}+\cdots +(n\theta )^{2}\right)\\&={\frac {\theta ^{3}}{12}}n(n+1)(2n+1).\end{aligned}}$$

چون شعاع دایره $2\pi$ است،

$a(C)=4\pi ^{3}.$

با جایگذاری $\theta ={\frac {2\pi }{n}}$، فرض پیشین مستلزم نامساوی

$(n+1)(2n+1)<2n^{2}$

خواهد بود. این نامساوی برای هیچ عدد صحیح مثبت $n$ درست نیست و بنابراین تناقض حاصل می‌شود. به شیوهٔ مشابه فرض

$a(S)>{\frac {1}{3}}a(C)$

نیز رد می‌شود. در نتیجه،

$a(S)={\frac {1}{3}}a(C).$

نمونه: نسبت مساحت دو دایره

دو دایره و چندضلعی‌های منتظمِ محاط در آنها با شمار ضلع برابر.

گزارهٔ دوم کتاب دوازدهم اصول اقلیدس بیان می‌کند که مساحت دو دایره به نسبت مربع قطرها یا شعاع‌های آنهاست. اگر دو دایره $C_{1}$ و $C_{2}$ شعاع‌های $r_{1}$ و $r_{2}$ داشته باشند، باید نشان داده شود که

${\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}.$

فرض کنیم برخلاف حکم،

${\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}.$

بنابراین،

$a(C_{1})>\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}).$

دو چندضلعی منتظم $P_{1}$ و $P_{2}$ با شمار ضلع برابر، به‌ترتیب در $C_{1}$ و $C_{2}$ محاط می‌شوند. تعریف می‌کنیم:

$\varepsilon =a(C_{1})-\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2}).$

بر پایهٔ گزارهٔ نخست کتاب دهم اقلیدس، می‌توان شمار ضلع‌ها را چنان افزایش داد که

$a(C_{1})-a(P_{1})<\varepsilon .$

از این رو،

$\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<a(P_{1}).$

برای دو چندضلعی منتظم متشابه با شمار ضلع برابر نیز

${\frac {a(P_{1})}{a(P_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}.$

در نتیجه،

$\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(C_{2})<\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}a(P_{2}),$

و بنابراین

$a(C_{2})<a(P_{2}).$

این نتیجه ناممکن است، زیرا $P_{2}$ درون $C_{2}$ محاط شده است. پس نسبت مساحت دایره‌ها نمی‌تواند از نسبت مربع شعاع‌ها بزرگ‌تر باشد. با جابه‌جا کردن نقش دو دایره، کوچک‌تر بودن آن نیز به همین ترتیب رد می‌شود؛ در نتیجه

${\frac {a(C_{1})}{a(C_{2})}}=\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right)^{2}.$

ارتباط با حسابان جدید

روش افنا از نظر تاریخی یکی از مهم‌ترین پیش‌زمینه‌های حساب انتگرال است، اما نباید آن را عیناً معادل انتگرال‌گیری جدید دانست. در حسابان جدید، مساحت‌ها با مفهوم دقیق حد و انتگرال تعریف می‌شوند، در حالی که در روش یونانی از کمیت‌های هندسی و برهان خلف استفاده می‌شد و از گذار صریح به یک مقدار حدی پرهیز می‌شد.

با این حال، روش‌های امروزی تقریب انتگرال، مانند مجموع ریمان و قانون ذوزنقه، از نظر ایدهٔ تقریب یک کمیت پیچیده با مجموع کمیت‌های ساده‌تر، شباهتی بنیادی با روش افنا دارند.

جستارهای وابسته

• روش قضایای مکانیکی
• تربیع سهمی
• اصل کاوالیری
• مجموع ریمان
• قانون ذوزنقه
• حد (ریاضیات)
• حساب انتگرال