هذلولی

تصویری از یک هذلولی

به مکان هندسی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله‌ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها) مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد، هذلولی گویند. هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود می‌آید. اگر نصف اندازه طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصله کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطه c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

معادله استاندارد

معادله ی هذلولی به مرکز $(h,k)$ به فرم استاندارد به صورت زیر است:

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{horizontal transversive axis}}\\\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{vertical transversive axis}}\end{cases}}$

شکل پارامتریک معادله ی هذلوی به یکی از سه صورت زیر خواهد بود:

$$1:{\begin{cases}x=\pm a\,{\text{cosh}}(t)+h\\y=b\,{\text{sinh}}(t)+k\end{cases}},\quad t\in \mathbb {R}$$

$$2:{\begin{cases}x=\pm a\,{\frac {t^{2}+1}{2t}}+h\\y=b\,{\frac {t^{2}-1}{2t}}+k\end{cases}},\quad t\neq 0$$

$$3:{\begin{cases}x=a\,{\text{sec}}(t)+h\\y=\pm b\,{\text{tan}}(t)+k\end{cases}},\quad 0\leq t<2\pi ,\,t\neq {\frac {\pi }{2}},\,t\neq {\frac {3\pi }{2}}$$

منابع

• Larson, Ron (2010). Trigonometry. Cengage Learning. ISBN 1439049076, 9781439049075.