هذلولی

تصویری از یک هذلولی

از سلسله مقالاتی دربارهٔ مقاطع مخروطی
سهمی
معادله	$y^{2}=4ax\,$
برون‌مرکزی ($e$)	$1\,$
نیم‌راست‌وتر کانونی ($l$)	$2a\,$
هذلولی
معادله	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
برون‌مرکزی ($e$)	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
نیم‌راست‌وتر کانونی ($l$)	${\frac {b^{2}}{a}}$
بیضی
معادله	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
برون‌مرکزی ($e$)	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
نیم‌راست‌وتر کانونی ($l$)	${\frac {b^{2}}{a}}$
دایره (حالت خاص بیضی)
معادله	$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$
برون‌مرکزی ($e$)	$0$
نیم‌راست‌وتر کانونی ($l$)	$a$
•  •  •

به مکان هندسی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله‌ هر یک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانون‌ها) مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد، هذلولی گویند. هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود می‌آید. اگر نصف اندازه طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصله کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطه c² = a² + b² برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می‌کنند.

معادله استاندارد

معادله ی هذلولی به مرکز $(h,k)$ به فرم استاندارد به صورت زیر است:

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{horizontal transversive axis}}\\\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{vertical transversive axis}}\end{cases}}$

شکل پارامتریک معادله ی هذلوی به یکی از سه صورت زیر خواهد بود:

$$1:{\begin{cases}x=\pm a\,{\text{cosh}}(t)+h\\y=b\,{\text{sinh}}(t)+k\end{cases}},\quad t\in \mathbb {R}$$

$$2:{\begin{cases}x=\pm a\,{\frac {t^{2}+1}{2t}}+h\\y=b\,{\frac {t^{2}-1}{2t}}+k\end{cases}},\quad t\neq 0$$

$$3:{\begin{cases}x=a\,{\text{sec}}(t)+h\\y=\pm b\,{\text{tan}}(t)+k\end{cases}},\quad 0\leq t<2\pi ,\,t\neq {\frac {\pi }{2}},\,t\neq {\frac {3\pi }{2}}$$

منابع

• Larson, Ron (2010). Trigonometry. Cengage Learning. ISBN 1439049076.