از سلسله مقالاتی دربارهٔمقاطع مخروطی
سهمی معادله
y
2
=
4
a
x
{\displaystyle y^{2}=4ax\,}
برونمرکزی (
e
{\displaystyle e}
)
1
{\displaystyle 1\,}
نیمراستوتر کانونی (
l
{\displaystyle l}
)
2
a
{\displaystyle 2a\,}
هذلولی معادله
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
برونمرکزی (
e
{\displaystyle e}
)
1
+
b
2
a
2
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
نیمراستوتر کانونی (
l
{\displaystyle l}
)
b
2
a
{\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}
بیضی معادله
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
برونمرکزی (
e
{\displaystyle e}
)
1
−
b
2
a
2
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}
نیمراستوتر کانونی (
l
{\displaystyle l}
)
b
2
a
{\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}
دایره (حالت خاص بیضی)معادله
x
2
+
y
2
=
a
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}
برونمرکزی (
e
{\displaystyle e}
)
0
{\displaystyle 0}
نیمراستوتر کانونی (
l
{\displaystyle l}
)
a
{\displaystyle a}
• • •
به مکان هندسی مجموعهای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله هر یک از آنها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه (کانونها) مقداری ثابت (دو برابر مقدار a در هذلولی) باشد، هذلولی گویند. هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود میآید. اگر نصف اندازه طول و عرض هذلولی را a و b و نصف فاصله کانونی را c بنامیم، در هر هذلولی رابطه c2 = a2 + b2 برقرار خواهد بود. هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد میکنند.
معادله استاندارد [ ویرایش ]
معادله ی هذلولی به مرکز
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)}
به فرم استاندارد به صورت زیر است:[۱]
{
(
x
−
h
)
2
a
2
−
(
y
−
k
)
2
b
2
=
1
horizontal transversive axis
(
y
−
k
)
2
a
2
−
(
x
−
h
)
2
b
2
=
1
vertical transversive axis
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{horizontal transversive axis}}\\\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1&{\mbox{vertical transversive axis}}\end{cases}}}
شکل پارامتریک معادله ی هذلوی به یکی از سه صورت زیر خواهد بود:
1
:
{
x
=
±
a
cosh
(
t
)
+
h
y
=
b
sinh
(
t
)
+
k
,
t
∈
R
{\displaystyle 1:{\begin{cases}x=\pm a\,{\text{cosh}}(t)+h\\y=b\,{\text{sinh}}(t)+k\end{cases}},\quad t\in \mathbb {R} }
2
:
{
x
=
±
a
t
2
+
1
2
t
+
h
y
=
b
t
2
−
1
2
t
+
k
,
t
≠
0
{\displaystyle 2:{\begin{cases}x=\pm a\,{\frac {t^{2}+1}{2t}}+h\\y=b\,{\frac {t^{2}-1}{2t}}+k\end{cases}},\quad t\neq 0}
3
:
{
x
=
a
sec
(
t
)
+
h
y
=
±
b
tan
(
t
)
+
k
,
0
≤
t
<
2
π
,
t
≠
π
2
,
t
≠
3
π
2
{\displaystyle 3:{\begin{cases}x=a\,{\text{sec}}(t)+h\\y=\pm b\,{\text{tan}}(t)+k\end{cases}},\quad 0\leq t<2\pi ,\,t\neq {\frac {\pi }{2}},\,t\neq {\frac {3\pi }{2}}}
↑ Larson & Hostetler, p.463