میدان (ریاضی)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و جبر مجرد، میدان به معنای ساختاری جبری است که در آن چهار عمل جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم (بجز تقسیم بر صفر) تعریف شده باشد و هر دو عمل جمع و ضرب خاصیت جابجایی داشته باشد. به بیان دیگر، میدان یک حلقه جابجایی است که اعضای غیر صفر آن با عمل ضرب تشکیل یک گروه بدهند. هر میدان به عنوان یک ساختار جبری یک حلقه است. ولی برعکس آن لزوما بر قرار نیست. برای مثال حلقه اعداد صحیح چون نسبت به عمل تقسیم بسته نیست، میدان نیست.همچنین اگر شرط جابجایی را برداریم، به جای میدان، حلقه بخشی (حلقه تقسیم) خواهیم داشت. هر میدان را می‌توان به عنوان اسکالرهای یک فضای برداری(که موضوع مورد مطالعه در جبر خطی است) در نظر گرفت.

میدان های اعداد[ویرایش]

مجموعه ای شامل S عدد حقیقی یا مختلط که شامل بیش از صفر عنصر باشد را میدان اعداد گوییم هرگاه عملیات تعریف شده ی بالا روی آن صادق باشد.

مثال : مجموعه تمام اعداد به فرم a+b√3 که در آن a و b اعداد اعداد گویا میباشند.

میدان های عمومی[ویرایش]

مجموعه ی S شامل دو عنصر یا بیش از دو عنصر را با هم همراه با دو عمل (+) و (.) که جمع و ضرب نامیده میشوند میدان F مینامند بطوریکه ( a,b,c,... عناصر F نامیده میشود (اسکالر) ).

مثال: مجموعه تمام خارج قسمت های (P(x) / Q(x چندجمله ای هایی از x با ضرایب حقیقی.

مثال[ویرایش]

هر یک از مجموعه‌های اعداد گویا، اعداد حقیقی، اعداد مختلط و اعداد جبری تشکیل میدان می‌دهند.