عدد پی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
مساحت دایره برابر r۲ (مساحت مربع هاشور خورده) است
محیط دایره برابر قطرش است

عدد پی (π) از عددهای ثابت ریاضی و تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹ [۱] است. این عدد را با علامت نشان می‌دهند. عدد پی عددی حقیقی و گُنگ است که نسبت محیط دایره به قطر آن را در هندسهٔ اقلیدسی مشخص می‌کند و کاربردهای فراوانی در ریاضیات، فیزیک و مهندسی دارد. عدد پی همچنین به ثابت ارشمیدس نیز معروف است.

مقدمات[ویرایش]

نام[ویرایش]

نمادی که ریاضی‌دانان برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن به کار می‌برند حرف کوچک یونانی است که «پی» تلفظ می‌شود و حرف اول کلمهٔ یونانی «پریمتروس»[الف] (به معنی محیط) است.[۲] کاربرد ریاضیاتی حرف کوچک پی (یا π در قلم‌های سنزسریف) با کاربرد حرف بزرگ پی (یعنی ) فرق دارد. حرف بزرگ پی برای نمایش ضرب دو دنباله استفاده می‌شود و کاربرد آن مشابه کاربرد در مجموع‌یابی است.

تعریف[ویرایش]

نسبت محیط دایره به قطر آن دقیقاً برابر است.

غالباً به‌عنوان نسبت محیط یک دایره به قطر تعریف می‌شود. یعنی:[۳]

نسبت صرف‌نظر از اندازهٔ دایره ثابت است. مثلاً اگر قطر دایره دو برابر شود، محیط آن هم دو برابر خواهد شد و نسبت ثابت خواهد ماند. این تعریف به‌شکل ضمنی از هندسه اقلیدسی (مسطح) استفاده می‌کند؛ یعنی بااین‌که مفهوم دایره را می‌توان به هندسه نااقلیدسی تعمیم داد، این «دایره» ها دیگر لزوماً در معادلهٔ صدق نخواهند کرد.[۳]

مقدار محیط دایره برابر است با طول قوسی که پیرامون دایره قرار دارد و این کمیت را می‌توان مستقل از هندسه و با استفاده از مفهوم حددر حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد.[۴] برای مثال، می‌توان طول قوس نیمهٔ بالایی دایرهٔ واحد، که معادلهٔ آن در دستگاه مختصات دکارتی برابر با x2 + y2 = ۱است، را مستقیماً به شکل انتگرال زیر انتگرال حساب کرد:[۵]

این تعریف با استفاده از انتگرال را نخستین بار کارل وایرشتراس در ۱۸۴۱ به کار برد.[۶]

این گونه تعاریف پی که به مفهوم محیط و به‌شکلی ضمنی به انتگرال وابسته‌اند امروزه در ادبیات علمی رایج نیستند. به گفتهٔ راینهولد رمرت دلیل آن این است که در آموزش حسابان در مدارس حساب دیفرانسیل معمولاً پیش از حساب انتگرال قرار می‌گیرد و ازین رو به تعریفی از نیاز است که به دومی وابسته نباشد.[۷] یکی از این تعریف‌ها، که به ریچارد بالتزر[ب] منسوب است[۸] و ادموند لانداوآن را مشهور کرده‌است،[۹] از این عبارت است: دو برابر کوچکترین عددی است که در آن تابع کسینوس برابر ۰ است.[۳][۵][۱۰] کسینوس را می‌توان مستقل از هندسه به عنوان یک سری توانی,[۱۱] یا به‌عنوان ریشهٔ یک معادله دیفرانسیل تعریف کرد.[۱۰]

به همین ترتیب، , را می‌توان با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی مختلط، exp(z), ار متغیر مختلط z تعریف کرد. مانند کسینوس، تابع نمایی مختلط را می‌تواند به چند شکل تعریف کرد. ازین‌رو مجموعهٔ اعداد مختلطی که در آن exp(z) برابر یک است عبارت خواهد بود از یک تصاعد حسابی (موهومی) به صورت:

و فقط یک عدد حقیقی با این ویژگی وجود دارد.[۵][۱۲] گونه‌ای انتزاعی‌تر از همین ایده، که از مفاهیم پیچیدهٔ ریاضیاتی توپولوژی وجبر استفاده می‌کند، قضیهٔ ذیل است:[۱۳] تنها یک (به تقریب خودریختی) تابع پیوسته یک‌ریختی وجود دارد که دامنه‌اش گروه R/Z از اعداد حقیقی تحت اعداد صحیح گروه دایره ‏(en) و بردش گروه ضربی اعداد مختلط قدر مطلق یک باشد و عدد برابر نصف بزرگی مشتق این هم‌ریختی است.[۱۴]

گنگ بودن و نرمال بودن[ویرایش]

عددی گنگ است؛ یعنی نمی‌توان آن را به صورت یک عدد گویا (نسبت دو عدد صحیح) نوشت. گاه از کسرهایی مثل برای تقریب استفاده می‌شود، ولی هیچ کسری برابر مقدار دقیق نیست.[۱۵] از آن‌جا که گنگ است، نمایش ده‌دهی آن تعداد نامتناهی رقم دارد و به شکل مختوم یا ده‌دهی متناوب نیست. اثبات‌های مختلفی برای گنگ بودن وجود دارد که غالباً مبتنی بر استفاده از حسابان و روش‌های تعلیق به محالند. هنوز معلوم نیست که را تا به چه اندازه‌ای می‌توان با استفاده از عدد گویا تقریب کرد (مقیاس گنگی آن محاسبه نشده‌است)؛ ولی بنابر تخمین‌ها مقیاس گنگی آن از مقیاس گنگی یا بزرگتر ولی از مقیاس گنگی اعداد لیوویل کوچک‌تر است.[۱۶]

ارقام اعشار هیچ الگوی مشخصی ندارند و شرایط تصادف آماری و اعداد نرمال را احراز می‌کنند.[۱۷] با این حال نرمال بودن ثابت نشده‌است.[۱۷] با ابداع کامپیوتر، تعداد انبوهی از ارقام برای تحلیل‌های آماری در دسترس ریاضی‌دانان قرار گرفت. یاسوماسا کانادا با انجام تحلیل‌های آماری روی ارقام آن‌ها را با شرایط نرمال هماهنگ دانست و نشانی از وجود الگو در آن‌ها نیافت.[۱۸] بنابر قضیه میمون نامتناهی، هر وقت دنباله‌ای تصادفی از ارقام به اندازه کافی بزرگ باشد، بخشی از آن شامل دنباله‌هایی است که به نظر غیر تصادفی می‌رسند. یک نمونهٔ دنباله‌های تصادفی در دنبالهٔ ارقام که به نظر غیرتصادفی می‌رسند از رقم ۷۶۲م در نمایش اعشاری آغاز می‌شود و در فولکلور ریاضی به نقطه فاینمن موسوم است.[۱۹]

تعالی[ویرایش]

از آنجا که جزء مجموعهٔاعداد متعالی است، تربیع دایره با استفاده از ابزارهای سنتی خط‌کش و پرگار ممکن نیست.

می‌توان ثابت کرد که یکی از عددی متعالیاست، به این معنی که هیچ معادله جبری غیرثابت با ضرایب گویا (مثلاًx5/120x3/6 + x = ۰) وجود ندارد که جوابش پی باشد.[۲۰][پ]

از تعالی دو نتیجهٔ مهم می‌شود گرفت: یکی اینکه را نمی‌توان با استفاده از ترکیب متناهی اعداد گویا و ریشهٔ دوم (مانند331 یا 10) بیان کرد. ثانیاً از آنجا که اعداد متعالی ترسیم‌پذیر نیستند، تربیع دایره با استفاده از خط‌کش و پرگار غیرممکن است، یعنی نمی‌توان تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار مربعی رسم کرد که مساحت آن برابر مساحت دایره‌ای معین باشد.[۲۱] تربیع مربع یکی از معمترین مسائل هندسی در گذر تاریخ بوده‌است[۲۲] و با اینکه در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است و تربیع دایره غیرممکن است، هنوز برخی ریاضی‌دانان آماتور تلاش می‌کنند آن را حل کنند و گاه ادعا می‌کنند آن را حل کرده‌اند.[۲۳]

کسرهای مسلسل[ویرایش]

ثابت با استفاده از موزائیک در محوطهٔ ساختمان ریاضیات دانشگاه فنی برلین

مانند همهٔ اعداد گنگ، ثابت نمی‌توان به صورت یک کسر متعارفی ساده (کسر معمولی، که صورت و مخرج آن اعداد صحیح هستند) نمایش داد. بااین‌حال همهٔ اعداد گنگ، از جمله را می‌توان با استفاده از سلسله‌ای نامتناهی از کسرهای تودرتو، موسوم به کسر مسلسل، نشان داد:

با قطع کردن این کسر مسلسل در هر مرحله، می‌توان تقریبی گویا از به‌دست‌آورد؛ چهار انقطاع و تقریب گویای اول این کسر مسلسل عبارتند از ۳، ۲۲/۷، ۳۳۳/۱۰۶، و ۳۵۵/۱۱۳. این اعداد شناخته‌شده‌ترین و پراستفاده‌ترین تقریب‌های عدد پی هستند. هر تقریبی که به این شکل به‌دست بیاید «بهترین تقریب گویا» در آن مخرج است، به این مفهوم که از هر عدد گویا با مخرج برابر یا کمتر به نزدیک‌تر است.[۲۴] از آن‌جا که عددی متعالی است، بنابر تعریف عدد جبری نیست و نمی‌تواند عدد گنگ درجه دو باشد. ازین‌رو کسر مسلسل دوره‌ای ندارد. بااین‌که در کسر مسلسل معمولی (که در بالا آمده‌است) هیچ الگوی مشخصی نیست،[۲۵] ریاضی‌دانان چند کسر مسلسل عام (کسر مسلسلی با صورت یا مخرج مختلط) برای آن کشف کرده‌اند که الگوی مشخصی دارند، ازآن‌جمله:[۲۶]

تقریب و ارقام[ویرایش]

برخی از تقریب‌های عبارتند از:

  • عدد صحیح: ۳
  • کسرها: کسرهای تقریبی (به ترتیب دقت) عبارتند از 22/7، 333/106، 355/113، 52163/16604، 103993/33102، و 245850922/78256779.[۲۴]
  • ارقام: ۵۰ رقم اعشاری اول عبارتند از ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱۶۹۳۹۹۳۷۵۱۰[۲۷] (see OEISA000796)

ارقام در دستگاه‌های اعداد دیگر[ویرایش]

اعداد مختلط و اتحاد اویلر[ویرایش]

رابطهٔ بین توان‌های موهومی عدد e and نقطه (هندسه) روی محیط دایره واحد به مرکزیت مبدأ مختصاتی در صفحه مختلط را می‌توان با استفاده از فرمول اویلر به‌دست‌آورد.

هر عدد مختلط z می‌توان با استفاده از دو عدد حقیقی نمایش داد. در دستگاه مختصات قطبی، یک (شعاع یا r) برای نمایش فاصلهٔ z از مبدأ مختصاتی صفحه مختلط و عدد دیگر (زاویه یا φ) برای نمایش چرخشی در خلاف جهت عقربه‌های ساخت از خط حقیقی مثبت به شکل زیر استفاده می‌شود:[۳۰]

که در آن i یکه موهومی‌ای است که در i2 = −۱ صدق می‌کند. حضور مداوم در آنالیز مختلط را می‌توان با رفتار تابع نمایی متغیر مختلط مرتبط دانست، که به‌شکل زیر با فرمول اویلر توصیف می‌شود:[۳۱]

که در آن عدد e پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این فرمول رابطه‌ای بین توان‌های موهومی e و نقاط روی محیط دایره واحد که مرکز در مبدأ مختصاتی صفحهٔ مختلط قرار دارد برقرار می‌کند. با قرار دادن φ = در فرمول اویلر می‌توان اتحاد اویلر را به‌دست‌آورد. سرشناسی این اتحاد نزد ریاضی‌دانان از آن رو است که پنج تا از مهمترین ثابت‌های ریاضی را در خود دارد:[۳۱][۳۲]

n تا عدد مختلط z وجود دارد که در رابطهٔ zn = ۱ صدق کند، و این‌ها به «ریشه واحد nم» موسومند[۳۳] و از طریق فرمول:

محاسبه می‌شوند.

تاریخچه[ویرایش]

در بابل کهن بین ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد عدد پی را به صورت ۲۵/۸ = ۳٫۱۲۵ تخمین زدند. در مصر باستان نیز بین ۱۶۰۰ تا ۱۸۵۰ سال پیش از میلاد ۱۶/۹)۲ ≈ ۳٫۱۶۰۵) برآورد کردند.[۳۴] عدد پی عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی‌دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه‌ها راجع به مساحت دایره بوده‌است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریهٔ پاپیروس است که می‌گفت: اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "۳٫۱۶" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است.[۳۵]

تقریب اعشاری عدد پی

Cir.jpg

پس از آن که مشخص شد که عدد پی، عددی گنگ است؛ اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره به وسیلهٔ یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.[۳۵]

ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد:

یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.

طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:

  • ۱۰۰ میلیون جمله: ۷ رقم اعشار
  • یک میلیارد جمله: ۸ رقم اعشار

ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.

در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). کشف گنگ بودن عدد پی، به سال‌ها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.

در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول به صورت زیر است:

با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.

باوجود آنکه همه ریاضی‌دانان می‌دانند که عدد پی گنگ می‌باشد و هرگز نمی‌توان آن را بطور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی هموار برای آن‌ها از جذابیت زیادی برخوردار بوده‌است. بسیاری از آن‌ها تمام عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد زیبا نمودند اما آن‌ها هرگز نتوانستند تا قبل از ساخت کامپیوتر این عدد را بیش از ۱۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمایند.

امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیونها رقم محاسبه شده‌است؛ و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه نمود و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه نمود.

از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.

عدد پی در ایران[ویرایش]

در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان دانشمند ایرانی، در رسالة المحیطیه که دربارهٔ دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت که تا ۱۸۰ سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد.

فهرست اعداداعداد گنگ
γζ(3)√2√3√5φρδSeπδ
دودویی ۱۱٫۰۰۱۰۰۱۰۰۰۰۱۱۱۱۱۱۰۱۱۰…
دهدهی ۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶…
دوازده‌دوازدهی ۳٬۱۸۴۸۰۹۴۹۳B۹۱۸۶۴…
شانزده‌شانزدهی ۳٫۲۴۳F6A8885A308D۳۱۳۱۹…
کسر متناوب
Note that this continued fraction is not periodic.

در رسانه[ویرایش]

کاربرد[ویرایش]

مرتبط: List of formulae involving π ‏(en) از آن‌جا که ارتباط نزدیکی با دایره دارد، می‌توان در بسیاری از فرمول‌های هندسه و مثلثات، به ویژه فرمول‌هایی که مربوط به دایره، کره، یا بیضی می‌شوند رد پای آن را دید. همچنین در فرمول‌های دیگر علوم از جمله ریاضیات تحلیلی، نظریه اعداد، فیزیک، آمار، احتمالات، مهندسی، و زمین‌شناسی دیده می‌شود.

هندسه و مثلثات[ویرایش]

روش مونت‌کارلو[ویرایش]

اعداد مختلط و ریاضیات تحلیلی[ویرایش]

نظریه اعداد و تابع زتای ریمان[ویرایش]

فیزیک[ویرایش]

آمار و احتمالات[ویرایش]

مهندسی و زمین‌شناسی[ویرایش]

یادداشت‌ها[ویرایش]

  1. περίμετρος (perímetros)
  2. Richard Baltzer
  3. این چندجمله‌ای عبارت‌های اول بسط تیلور از تابع سینوس است.

منابع[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. عدد پی تا یک میلیون رقم اعشار
  2. Boeing, Niels (14 March 2016). "Die Welt ist Pi" [The World is Pi]. Zeit Online (به آلمانی). Archived from the original on 17 March 2016. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften. [The Ludolphian number or circle number now also received the symbol under which we know it today: William Jones proposed in 1706 the Greek letter π, based on perimetros [περίμετρος], Greek for perimeter. Leonhard Euler firmly established π in his mathematical writings.]
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ ۳٫۲ Arndt & Haenel 2006, p. 8
  4. Apostol, Tom (1967). Calculus, volume 1 (2nd ed.). Wiley.. p. 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on p. 529.
  5. ۵٫۰ ۵٫۱ ۵٫۲ Remmert, Reinhold (1991), "", Numbers, Springer, p. 129
  6. Remmert (1991). انتگرال دقیق وایرشتراس عبارت است از
  7. Remmert 1991.
  8. Baltzer, Richard (1870), Die Elemente der Mathematik [The Elements of Mathematics] (به آلمانی), Hirzel, p. 195, archived from the original on 14 September 2016
  9. Landau, Edmund (1934), Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (به آلمانی), Noordoff, p. 193
  10. ۱۰٫۰ ۱۰٫۱ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8., p. 183.
  11. Rudin, Walter (1986). Real and complex analysis. McGraw-Hill., p. 2.
  12. Ahlfors, Lars (1966), Complex analysis, McGraw-Hill, p. 46
  13. Bourbaki, Nicolas (1981), Topologie generale, Springer, §VIII.2.
  14. Bourbaki, Nicolas (1979), Fonctions d'une variable réelle (به فرانسوی), Springer, §II.3.
  15. Arndt & Haenel 2006, p. 5
  16. Salikhov, V. (2008). "On the Irrationality Measure of pi". Russian Mathematical Surveys. 53 (3): 570–572. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. doi:10.1070/RM2008v063n03ABEH004543.
  17. ۱۷٫۰ ۱۷٫۱ Arndt & Haenel 2006, pp. 22–23
    Preuss, Paul (23 July 2001). "Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key". آزمایشگاه ملی لارنس برکلی. Archived from the original on 20 October 2007. Retrieved 10 November 2007.
  18. Arndt & Haenel 2006, pp. 22, 28–30
  19. Arndt & Haenel 2006, p. 3
  20. Mayer, Steve. "[[عدد پی|]]". Archived from the original on 2000-09-29. Retrieved 4 November 2007. URL–wikilink conflict (help)
  21. Posamentier & Lehmann 2004, p. 25
  22. Eymard & Lafon 1999, p. 129
  23. Beckmann 1989, p. 37
    Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery. Gale Group. ISBN 978-0-7876-3933-4., p. 185.
  24. ۲۴٫۰ ۲۴٫۱ Eymard & Lafon 1999, p. 78
  25. الگو:Cite OEIS Retrieved 12 April 2012.
  26. Lange, L.J. (May 1999). "". The American Mathematical Monthly. 106 (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152.
  27. Arndt & Haenel 2006, p. 240
  28. Arndt & Haenel 2006, p. 242
  29. Kennedy, E.S. (1978), "Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048", Journal for the History of Astronomy, 9: 65, Bibcode:1978JHA.....9...65K, doi:10.1177/002182867800900106. Ptolemy used a three-sexagesimal-digit approximation, and Jamshīd al-Kāshī expanded this to nine digits; see Aaboe, Asger (1964), Episodes from the Early History of Mathematics, New Mathematical Library, 13, New York: Random House, p. 125, ISBN 978-0-88385-613-0, archived from the original on 29 November 2016
  30. Ayers 1964, p. 100
  31. ۳۱٫۰ ۳۱٫۱ Bronshteĭn & Semendiaev 1971, p. 592
  32. Maor, Eli, E: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, p. 160, ISBN 978-0-691-14134-3 ("five most important" constants).
  33. اریک ویستین، Roots of Unity در مث‌ورلد.
  34. Arndt & Haenel ۲۰۰۶, p. ۱۶۷
  35. ۳۵٫۰ ۳۵٫۱ JM فقط ریاضی عدد پی

فهرست منابع[ویرایش]

جستارهای وابسته[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]