ماتریس قطری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر خطی، یک ماتریس قطری یک ماتریس (معمولا یک ماتریس مربعی) است که تمام درایه‌های خارج از قطر اصلی(↘) آن همه صفر باشد. درایه‌های قطر اصلی می‌تواند صفر باشد یا نباشد. بنابرین ماتریس D = (di,j) با n سطر و n ستون قطری است اگر:

d_{i,j} = 0 \mbox{ if } i \ne j  \qquad \forall i,j \in 
    \{1, 2, \ldots, n\}.

به طورمثال ماتریس زیر قطری است:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & -3\end{bmatrix}.

ماتریسی که درایه‌های خارج از قطر فرعی آن صفر باشد ماتریس شبه قطری نامیده می‌شود. عنوان ماتریس قطری گاهی به ماتریس‌های غیرمربعی نیز اطلاق می‌شود که فقط درایه‌های di,i ناصفر(یا صفر) باشند.به طور مثال:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & -3\\
0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix}, or \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0& 0 & 0\\
0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}.

اگرچه در بقیه مقاله منظور ماتریس مربعی است.

هر ماتریس قطری لزوما ماتریس متقارن است و ماتریس‌های صفر، همانی، تمام ماتریس‌های یک‌بعدی و اسکالر ماتریس قطری به شمار می‌روند.

می‌توان ماتریس قطری را نیز ماتریسی تعریف کرد که بالامثلثی و هم پایین‌مثلثی باشد.

ماتریس اسکالر[ویرایش]

ماتریس قطری که تمام درایه‌های قطر اصلی ان برابر باشد یک ماتریس اسکالر نامیده می‌شود و برابر با همان مقدار درایه در ضرب ماتریس‌هاست یا به عبارت دیگر λIکه I ماتریس همانی است. برای مثال ماتریس ۳×۳ اسکالر به این شکل است:

\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 0\\
0 & \lambda & 0\\
0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}.

این ماتریس‌ها در تبدیل واحد نقش تجانس با نسبت &lambda؛ را به مرکز مبدا مختصات دارند

عملگرها[ویرایش]

دترمینان ماتریس قطری برابر است با حاصلضرب درایه‌های واقع بر قطر آن و برای ماتریس شبه‌قطری n\times nبرابر است با حاصلضرب درایه‌های واقع بر قطر فرعی ضربدر (-1)^{\binom{n}{2}}.

عملگرهای ماتریس‌ها روی ماتریس‌های قطری بسیار ساده عمل می‌کنند به طوری مثال ضرب دو ماتریس قطری به صورت زیر است.

\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}
d & 0 & 0\\
0 & e & 0\\
0 & 0 & f\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a.d & 0 & 0\\
0 & b.e & 0\\
0 & 0 & c.f\end{bmatrix}.

یک ماتریس قطری وارون‌پذیر است اگر و فقط اگر تمام درایه‌های قطر اصلی آن ناصفر باشند و وارون آن برابر است با: A=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c\end{bmatrix}\to A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{a} & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{b} & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{c}\end{bmatrix}

ماتریس الحاقی برای یک ماتریس قطری به صورت زیر است:

A=\begin{bmatrix}
a & 0 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 0 & c\end{bmatrix}\to A^*=\begin{bmatrix}
bc & 0 & 0\\
0 & ac & 0\\
0 & 0 & ab\end{bmatrix}

خواص دیگر[ویرایش]

ویژه‌مقدارهای ماتریس قطری که قطر اصلی آنa1, ..., an باشد برابر است با a1, ..., an .

ماتریس الحاقی هر ماتریس قطری نیز خود یک ماتریس قطری است.

یک ماتریس مربعی قطری است اگر و فقط اگر مثلثی و نرمال باشد.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]