ارتفاع (مثلث)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
سه ارتفاع مثلث

ارتفاع یک مثلث در هندسه عبارت است از پاره‌خطی که از یک راس آغاز می‌شود و بر ضلع مقابل مثلث (یا امتداد آن) عمود است (زاویه قائمه تشکیل می‌دهد). محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، پای عمود نام دارد. معمولاً به طول ارتفاع همان ارتفاع گفته می‌شود که برابر است با فاصلهٔ میان راس و قاعده (یا قاعدهٔ امتداد یافته)

از ارتفاع در محاسبهٔ مساحت مثلث استفاده می‌شود که برابر است با نصف حاصل ضرب طول ارتفاع در قاعدهٔ آن. در نتیجه بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود. ارتفاع مثلث به مبحث توابع مثلثاتی نیز مرتبط است.

قضیه‌های مرتبط[ویرایش]

ارتفاع و پیرامون مثلث[ویرایش]

برای هر مثلثی با اضلاع a، b، c و نصف محیط برابر با s = (a+b+c) / 2 طول ارتفاع رسم شده از راس a برابر است با:

این نتیجه از فرمول هرون بدست آمد.

دایرهٔ محاطی[ویرایش]

فرض کنید مثلثی با اضلاع a، b، c و ارتفاع‌های ha, hb, و hc داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را r بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:

دایرهٔ محیطی[ویرایش]

اگر ارتفاع رسم شده از یک راس را ha، دو ضلع دیگر را به ترتیب b و c و شعاع دایرهٔ محیطی را R بنامیم. آنگاه داریم:[۱]:p٫ ۷۱

نقطهٔ درونی[ویرایش]

اگر p1, p2, و p3 به ترتیب فاصلهٔ نقطهٔ دلخواه P از اضلاع مثلث باشند و h1, h2, و h3 شعاع‌های متناظر باشند، آنگاه رابطهٔ زیر درست خواهد بود:[۱]:p٫ ۷۴

مساحت[ویرایش]

اگر ارتفاع‌های رسم شده از راس‌های a، b و c به ترتیب , , و باشند با فرض داشتن ، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود:[۲]

نقطه‌ای دلخواه روی ارتفاع[ویرایش]

اگر E نقطه‌ای دلخواه بر روی ارتفاع AD از مثلث ABC باشد آنگاه:[۳]:۷۷–۷۸

مثلث‌های ویژه[ویرایش]

مثلث متساوی الاضلاع[ویرایش]

برای هر نقطهٔ دلخواه P در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، قضیهٔ ویویانی می‌گویند.

مثلث قائم‌الزاویه[ویرایش]

در یک مثلث قائم‌الزاویه، با فرض ارتفاع‌های ha, hb, و hc (واضح است که دو ارتفاع خود همان دو ضلع مثلث اند) رابطهٔ زیر میان سه ارتفاع مثلث برقرار است:[۴][۵]

مرکز ارتفاعی[ویرایش]

به محل همرسی ارتفاع ها مرکز ارتفاعی مثلث گویند(). خط اویلر مثلث از مرکز ارتفاعی نیز میگذرد.

مثلث پادک[ویرایش]

مثلث abc مثلث پادک ABC است

اگر محل برخورد ارتفاع ها با اضلاع به ترتیب باشد. مثلث مثلث پادک می گوییم. ارتفاع های مثلث، نیمساز های مثلث پادک هستند. و مرکز ارتفاعی مثلث، مرکز دایره محاطی مثلث پادک است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  2. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  3. Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.
  4. Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, July 1999, 269–271.
  5. Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, July 2008, 313–317.