توزیع طبیعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از توزیع گوسی)
پرش به ناوبری پرش به جستجو
توزیع نرمال
پارامترها مکان (حقیقی)
توان دوم مقیاس (حقیقی)
تابع چگالی احتمال
تابع چگالی احتمالی برای توزیع طبیعی
خط قرمز: توزیع طبیعی استاندارد
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیعی تجمعی برای توزیع طبیعی
رنگ‌ها با نمودار بالا همخوانی دارند
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین
میانه
مُد
واریانس
چولگی 0
کشیدگی 0
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)
تابع مشخصه

توزیع نُرمال یا توزیع گاوسی (که به ندرت، توزیع طبیعی نیز گفته می‌شود)، یکی از مهم‌ترین توزیع‌های احتمال پیوسته در نظریه احتمالات است.[۱][۲] علت نام‌گذاری و نیز اهمیت این توزیع این است که اُفت‌وخیز بسیاری از کمیّت‌های طبیعی (فیزیکی) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی می‌کند. دلیل اصلی این موضوع، قضیهٔ حد مرکزی است.

به زبان ساده، در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده می‌شود که مجموع متغیرهای تصادفی مستقل (independent)، که هرکدام میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. برای مثال، با اینکه عوامل زیادی بر خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر می گذارند (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و ...) اما در اندازه‌گیری های متعدد، خطای اندازه‌گیری همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده است. مثال‌های دیگری از این کمیت‌های طبیعی، قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است.

این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریش گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع گاوسی نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل تابع چگالی احتمال این توزیع، با نام توزیع زنگوله‌ای (زنگ‌دیس) نیز معروف است.

تابع چگالی احتمال این توزیع دو پارامتر دارد که یکی تعیین کنندهٔ میانگین () و دیگری تعیین کنندهٔ واریانس () توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر و باشد توزیع، نرمال استاندارد نامیده می‌شود.

مشخصات[ویرایش]

خصوصیاتی که معمولاً برای توصیف یک توزیع احتمال به کار می‌روند، عبارتند از تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آورده شده‌اند. در ادامه، جزئیات بیشتری دربارۀ این خصوصیات ذکر می‌شود.

تابع چگالی احتمال[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای و به صورت زیر است :

  • تابع تابعی متقارن حول است؛ همچنین این نقطه میانگین، مد و میانهٔ توزیع است.
  • نقاط عطف این منحنی، و است.
  • این تابع بینهایت بار مشتق پذیر است.

گشتاورها[ویرایش]

گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی برای هر که Re[p]> −1 وجود دارد.

در اینجا !!n نشان دهنده فاکتوریل دوبل است.

(تمام گشتاورهای مرکزی مرتبه فرد صفرند)

ترکیبات خطی[ویرایش]

اگر و a,b هر دو از اعداد حقیقی باشند، آنگاه
اگر و متغیرهای تصادفی نرمال مستقل باشند آنگاه:

  • مجموع آنها دارای توزیع نرمال است: .
  • اختلاف آنها نیز دارای توزیع نرمال است: .
  • اگر واریانس و یکی باشد، آنگاه و از هم مستقل هستند.

خصوصیات[ویرایش]

قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره به طور توام، در فاصلهٔ دو برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارند. در توزیع نرمال، اولی برابر با ۶۸٪ سطح زیر نمودار و دومی برابر با ۹۵٪ سطح زیر نمودار است.

تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند.

محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمال غیر استاندارد[ویرایش]

اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ و امید ریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد می‌سازد:[۳]

مثال[ویرایش]

جواب به این صورت محاسبه‌پذیر است:

(مقدار ‎‎ از روی جداول چگالی توزیع نرمال استاندارد یا با محاسبهٔ مستقیم سطح زیر نمودار آن از بازهٔ منفی بینهایت تا ۰٫۳۳ بدست می‌آید)

منابع[ویرایش]

  1. Casella & Berger (2001, p. 102)
  2. Normal Distribution, Gale Encyclopedia of Psychology
  3. بهبودیان، جواد. «چند توزیع مهم و ارتباط آن‌ها با هم». آمار و احتمال مقدماتی. محاسبه احتمال برای متغیرهای غیر استاندارد: دانشگاه امام رضا(ع)-مشهد. ص. ۲۰۴. شابک ۹۶۴-۶۵۸۲-۰۲-۸. پارامتر |تاریخ بازیابی= نیاز به وارد کردن |پیوند= دارد (کمک)