واریانس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
«پراش» به این صفحه تغییر مسیر پیدا می‌کند. برای دیگر کاربردها پراش (ابهام‌زدایی) را ببینید.

در نظریه احتمالات و آمار وردایی[۱] یا واریانس نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار وردایی با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل و یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که وردایی مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. وردایی کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای وردایی مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم وردایی که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

وردایی یا وردایی عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش می‌شوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی X دارای توزیع p(x) است و متوسط توزیع جمعیت آن را با \mu نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌‌شود:

Var(X) = \sigma^{2} \equiv \left\langle (X-\mu)^{2} \right\rangle

حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال p(x) باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\sigma^{2} = \sum_{i=1}^{N}p(x_{i})(x_{i} - \mu)^{2}

اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

S^{2}_{N}\equiv \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}

در این رابطه \overline{x} میانگین (امید ریاضی) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:

\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_N}{N}

البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شده استفاده می‌کنیم که بصورت زیر تعریف می‌گردد

S^{2}_{N-1}\equiv \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\overline{x})^{2}

تعریف[ویرایش]

اگر \mu= \operatorname{E}(X)، امید ریاضی (میانگین) متغیر تصادفی X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با:

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[ ( X - \mu ) ^ 2 ]\,

\begin{align}\operatorname{Var}(X)
 &= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\
 &= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.
 \end{align}

برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود وردایی برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی X را معمولاً با Var(X)‎ یا \scriptstyle\sigma_X^2 یا به صورت ساده‌تر σ2 (تلفظ می‌شود سیگما-دو) نمایش می‌دهند.

حالت پیوسته[ویرایش]

\operatorname{Var}(X) =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\,,

و

\mu = \int x \, f(x) \, dx\,,

خواص[ویرایش]

\operatorname{Var}(aX+b)=\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).
\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\, \operatorname{Cov}(X,Y),
\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),

واژه شناسی[ویرایش]

فرهنگستان زبان وردیدن، از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را به جای واریانس برگزیده است و از این فعل مشتقات وردش(variation)، وردا(variant)، هم‌وردا(covariant)، ناوردا(invariant)، پادوردا(contravariance) را برساخته است.

تخمین وردایی یک تابع[ویرایش]

\operatorname{Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname{E}\left[X\right])\right)^2\operatorname{Var}\left[X\right]

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Variance»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸).