رگرسیون پواسون

بخشی از مجموعه مباحث دربارهٔ آمار
تحلیل رگرسیون
مدل‌ها
رگرسیون خطی رگرسیون ساده خطی ‏(en)‏ رگرسیون چندجمله‌ای ‏(en)‏ رگرسیون چندمتغیره
مدل خطی تعمیم‌یافته انتخاب گسسته ‏(en)‏ رگرسیون لجستیک لوجیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت آمیخته ‏(en)‏ مدل پروبیت ‏(en)‏ پروبیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت مرتب ‏(en)‏ پروبیت مرتب ‏(en)‏ رگرسیون پواسون
مدل چندسطحی ‏(en)‏ مدل اثرهای ثابت ‏(en)‏ مدل اثرهای تصادفی ‏(en)‏ مدل آمیخته ‏(en)‏
رگرسیون غیرخطی ‏(en)‏ رگرسیون غیرپارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون نیمه‌پارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون باثبات رگرسیون چندک ‏(en)‏ رگرسیون ایزوتونیک ‏(en)‏ رگرسیون مولفه اصلی ‏(en)‏ رگرسیون کمترین زاویه ‏(en)‏ رگرسیون موضعی ‏(en)‏ رگرسیون مقطع ‏(en)‏
مدل خطا در متغیرها ‏(en)‏
تخمین
کمترین مربعات کمترین مربعات خطی ‏(en)‏ کمترین مربعات غیرخطی ‏(en)‏
حداقل مربعات معمولی حداقل مربعات وزن‌دار ‏(en)‏ روش تعمیم‌یافته کمترین مربعات
رگرسیون پاره‌ای کمتری مربعات ‏(en)‏ مجموع کمترین مربعات ‏(en)‏ کمترین مربعات نامنفی ‏(en)‏ تنظیم تیخونوف ‏(en)‏ کمترین مربعات منظم ‏(en)‏
کمترین انحرافات مطلق ‏(en)‏ کمترین مربعات بازوزن‌داده مکرر ‏(en)‏ رگرسیون خطی بیزی ‏(en)‏ رگرسیون چندمتغیره خطی بیزی ‏(en)‏
پیش‌زمینه
اعتبارسنجی مدل رگرسیون ‏(en)‏ پاسخ میانگین و پیش‌بینی‌شده ‏(en)‏ خطاها و باقی‌مانده‌ها در آمار ‏(en)‏ نیکویی برازش باقی‌مانده استودنت‌شده ‏(en)‏ قضیه گوس-مارکف
درگاه آمار

در آمار، رگرسیون پواسون نوعی از تحلیل رگرسیون و زیرمجموعه‌ای از مدل‌های خطی تعمیم‌یافته است که برای تحلیل داده‌های حاصل از شمارش به کار می‌رود.اگر $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ برداری از متغیر وابسته و مستقل باشد، فرم زیر را می‌گیرد:

$\log(\operatorname {E} (Y|\mathbf {x} ))=\mathbf {a} '\mathbf {x} +b,\,$

که در آن $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ و $b\in \mathbb {R}$. می‌توان فرم بالا را به این صورت نیز نوشت:

$\log(\operatorname {E} (Y|\mathbf {x} ))={\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} ,\,$

که در آن x بردار ($\mathbf {n+1}$)-بعدی از متغیرهاست. با داشتن پارامتر رگرسیون پواسون $\mathbf {\theta }$ و بردار ورودی $\mathbf {x}$، می‌توان پیش‌بینی را به اینصورت بدست آورد:

$\operatorname {E} (Y|\mathbf {x} )=e^{\left({{\boldsymbol {\theta }}'\mathbf {x} }\right)}.\,$

تخمین پارامترها بر اساس بیشینه درست نمایی

بردار متغیر وابسته $x$ است و $\theta$ پارامتر مدل رگرسیون پوسان است، $Y$ متغیر مستقل است که آنرا با یک توزیع پوسان شبیه سازی میکنیم که میانگین آن در معادله پایین آمده است :

$\lambda :=\operatorname {E} (Y\mid x)=e^{\theta 'x},\,$

از این رو تابع احتمال این توزیع برابر است با:

$p(y\mid x;\theta )={\frac {\lambda ^{y}}{y!}}e^{-\lambda }={\frac {e^{y\theta 'x}e^{-e^{\theta 'x}}}{y!}}$

حال اگر فرض کنیم که $m$ داده داریم یعنی $(x_{1},y_{1}),\cdots ,(x_{m},y_{m})$ و مقادیر متغیر مستقل از مجموعه اعداد طبیعی می‌آید یعنی $y_{1},\ldots ,y_{m}\in \mathbb {N}$ و متغیرهای وابسته $n+1$ هستند یعنی $x_{i}\in \mathbb {R} ^{n+1},\,i=1,\ldots ,m$ آنگاه احتمال متغیرهای مستقل به شرط مشاهده متغیرهای وابسته برابر خواهد شد با:‌

$p(y_{1},\ldots ,y_{m}\mid x_{1},\ldots ,x_{m};\theta )=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.$

حال بر حسب اصل بیشینه‌سازی درست نمایی باید به دنبال پارامتری بگردیم که این درست نمایی به بیشترین مقدار خود برسد، یعنی تابع پایین بیشینه شود:$L(\theta \mid X,Y)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {e^{y_{i}\theta 'x_{i}}e^{-e^{\theta 'x_{i}}}}{y_{i}!}}.$

از آنجا که تابع لگاریتم مطلقاً صعودی است بجای بیشینه کردن تابع درست نمایی می‌توان لگاریتم آن را بیشینه کرد که تابع را ساده‌تر می‌کند. به عبارتی دیگر همان پارامتری که لگاریتم تابع درست نمایی را بیشینه می‌کند، همان پارامتر، خودِ تابع درست نمایی را نیز بیشنه می‌کند. لگاریتم تابع با معادله پایین برابر خواهد شد:

$\ell (\theta \mid X,Y)=\log L(\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}-\log(y_{i}!)\right).$

از آنجا که $\sum _{i=1}^{m}\log(y_{i}!)$ ثابت است و پارامتر $\theta$ را در خود ندارد می‌توان آنرا از تابع حذف کرد و به تابع پایین رسید

$\ell (\theta \mid X,Y)=\sum _{i=1}^{m}\left(y_{i}\theta 'x_{i}-e^{\theta 'x_{i}}\right).$

حال برای پیدا کردن بیشینه تابعِ $\ell (\theta \mid X,Y)$ باید گرادیان آنرا با صفر یکی کرد، یعنی ${\frac {\partial \ell (\theta \mid X,Y)}{\partial \theta }}=0$. این معادله اما جوابی در فرم بسته ندارد و باید جواب آنرا از روشی دیگر پیدا کرد. از آنجا که $-\ell (\theta \mid X,Y)$ تابعی محّدب است، می‌توان به پارامتر بهینه یعنی پارامتری که $-\ell (\theta \mid X,Y)$ را کمینه و $\ell (\theta \mid X,Y)$ را بیشینه کند با روشهای بهینه‌سازی محّدب مانند گرادیان کاهشی رسید.

ده سازی‌ها

Some statistics packages include implementations of Poisson regression.

• متلب Statistics Toolbox: Poisson regression can be performed using the "glmfit" and "glmval" functions.
• مایکروسافت اکسل: Excel is not capable of doing Poisson regression by default. One of the Excel Add-ins for Poisson regression is XPost
• آر (زبان برنامه‌نویسی): The function for fitting a generalized linear model in R is glm(), and can be used for Poisson Regression
• ساس (نرم‌افزار): Poisson regression in SAS is done by using GENMOD
• اس‌پی‌اس‌اس: In SPSS, Poisson regression is done by using the GENLIN command
• Stata: Stata has a procedure for Poisson regression named "poisson"
• mPlus: mPlus allows for Poisson regression using the command COUNT IS when specifying the data

جستارهای وابسته

• توزیع پواسون
• رگرسیون خطی
• رگرسیون لجیستیک

منابع

• Cameron, A.C. and P.K. Trivedi (1998). Regression analysis of count data, Cambridge University Press. ISBN 0-521-63201-3
• . شابک ‎۰-۳۸۷-۹۸۲۴۷-۷. MR۱۶۳۳۳۵۷. 
• Hilbe, J. M. (2007). Negative Binomial Regression, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85772-7