توزیع هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
هندسی
پارامترها
احتمال پیروزی (حقیقی)
تابع چگالی احتمال Geometricpdf.jpg
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیع تجمعی
Geometric distribution CDF.svg
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین
میانه (در صورتی که عددی طبیعی باشد میانه یکتا نیست.)
مُد 1
واریانس
چولگی
کشیدگی
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)
تابع مشخصه

توزیع هندسی، توزیعی است گسسته که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند برنولی می‌باشد

که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.

اثبات[ویرایش]

می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا،n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش ها بنا به فرض مستقل هستند داریم [۱] :

هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال بصورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.

در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد.

چند مثال ساده[ویرایش]

  • فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
  • فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
  • فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی[ویرایش]

قصیه: امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

اثبات[ویرایش]

می دانیم بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم

پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم

حال اگر فرض کنیم

داریم

در نتیجه

واریانس متغیر تصادفی هندسی[ویرایش]

قضیه: واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

اثبات[ویرایش]

فرض می کنیم پیشامد و پیشامد با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم

می‌دانیم


و

بنابراین



در نهایت از آنجا که داریم

متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است ![ویرایش]

فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟


پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی ارزش می شود.

همچنین می توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است.(عکس قضیه)

منابع[ویرایش]

  1. A First Course In Probability 8 Edition-Sheldon Ross