بازه اطمینان

بازه اطمینان (به انگلیسی: Confidence Interval) برای تخمین یک پارامتر، بازه‌ای است که پارامتر با حداقل سطح احتمال معینی مانند $1-\alpha$ عضو آن بازه‌است. به بیان ریاضی، فرض کنید داده $\mathbf {x}$ بر اساس توزیع احتمال $P(\mathbf {x} |\theta )$ با پارامتر $\theta$ توزیع شده‌است و می‌خواهیم بر اساس $n$ نمونهٔ مشاهده شده از $\mathbf {x}$ یعنی $\mathbf {X} =\{\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\}$ بازه‌ای برای $\theta$ بیابیم که با احتمال $1-\alpha$، $\theta$ عضو آن باشد. این بازه که با $[L(\mathbf {X} ),U(\mathbf {X} )]$ نمایش داده می‌شود —تا نشان‌دهد که کران بالا و پایین بازه تابعی از داده هستند— خواص زیر را ارضا می‌کند:

$L(\mathbf {X} )\leq U(\mathbf {X} ).$

و

$\inf _{\theta }\mathbb {P} _{\theta }(\theta \in [L(\mathbf {X} ),U(\mathbf {X} )])=1-\alpha .$

مثال ساده روزمره

در مثال مناقشه نیست.

تصور کنید یک خیاط تازه‌وارد به شهر شما، می‌آید و می‌پرسد: قد پیرمردهای شهر شما حدوداً چقده؟ یکی بر می گرده می گه: یعنی می گی که تمام پیرمردهای شهرمونو متر بزنیم و میانگین‌شو تقدیم کنیم؟! شما می‌پرید وسط و طبق آماری که از حدود سی و سه نفر بازنشسته داشتید می گید: حدود یک و نیم متر! می‌پرسد: چقدر مطمئنی؟ می‌گویید: خوب! به احتمال ۹۰ درصد میانگین قد پیرمردهای شهر ما بین ۱۴۰ تا ۱۶۰ سانت باشه! همکارتان زرنگی می‌کند و می‌گوید: به احتمال ۹۹ درصد میانگین قد پیرمردهای شهر ما بین یک تا دو متره! (هر دو جواب درسته!)

۹۹درصد همان سطح اطمینان و یک تا دو متر، بازه اطمینان هستند.

مفهوم

چنانچه یک جمعیت با توزیع طبیعی را در نظر بگیریم که میانگین آن m، انحراف معیارش s و سطح اطمینان CI مطلوب باشد، ابتدا مقدار z را توسط خط زیر در متلب بدست می‌آوریم:

z=norminv(CI/2+1/2,0,1)

که برای بازه اطمینان ۹۵٪ مقدار ۱٫۹۶ می‌شود. اینک بینگارید که یک گروه تصادفی S شامل شمار N نمونه را از جمعیت فوق برداشته باشیم (ترجیحا گروه را پرشمار بردارید). این گروه را توسط بازه زیر می‌توان بازنمایی کرد:

mean(S)±z*std(S)/sqrt(N)

ثابت شده‌است که به احتمال CI (در اینجا ۹۵٪)، بازه مذکور شامل m می‌شود.

عجیب تر این که ثابت شده‌است که احتمال مقدار احتمال ۵٪ چنین گروهی، ۵٪ می‌شود.