توزیع پارتو

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

تاریخچه[ویرایش]

پارتو
پارامترها مکان (حقیقی)
شکل (حقیقی)
تابع چگالی احتمال
k
تابع توزیع احتمالی پارتو برای مقادیر مختلف k&nbsp؛ و xm = 1. محور افقی نمایشگر پارامتر x&nbsp؛ می‌باشد. وقتی که حد k به بی‌نهایت میل می‌کند تابع توزیع احتمالی به (δ(x − xm میل می‌کند که δ تابع دلتای دیراک می‌باشد.
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیع تجمعی
Pareto cumulative distribution functions for various k
تابع توزیع تجمعی پارتو برای مقادیر مختلف k&nbsp؛ و xm = 1. محور افقی نمایشگر پارامتر x&nbsp؛ می‌باشد.
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین for
میانه
مُد
واریانس for
چولگی for
کشیدگی for
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) تعریف نشده
تابع مشخصه

در سال 1897، اقتصاددان ایتالیایی ویلفردوپارتو (1923-1848) که شاگرد لئون والراس بود و پس از او به احراز کرسی اقتصاد سیاسی دانشگاه لوزان دست یافت، باعث ایجاد نظم خاصی در توزیع درآمدها در کشورهای سرمایه‌داری و نیز کشورهایی که در شرایط فئودالی و سرمایه‌داری اولیه بودند شد. پارتو قصد داشت براساس این قانون نتایجی با ماهیت اقتصادی و اجتماعی به‌دست آورد.

پارتو دومین نفر از مکتب لوزان است؛ مکتب لوزان توسط لئون والراس (1834-1910) پایه‌گذاری شد؛ این مکتب علاوه بر بحث دربارهٔ مقوله مطلوبیت، به هزینه و عرضه نیز پرداخته‌است؛ با این بیان که اگر قیمت، بالاتر از هزینه تولید قرار گیرد، عرضه افزایش پیدا می‌کند تا قیمت را پایین آورد و بالعکس؛ اگر هزینه از قیمت پیشی گیرد، عرضه کاهش پیدا کرده و قیمت‌ها بالا می‌روند. پارتو یکی از بنیانگذاران اقتصاد ریاضی نیز شناخته شده‌است. دیدگاه او در مقوله تعادل عمومی در اقتصاد رفاه، جایگاه اساسی دارد.

پارتو بر مبنای آمارهای کشورهای مختلف، توزیع‌های فراوانی بدست آورد که معرف تعداد افرادی بودند که درآمدشان برابر مقداری معین یا بیشبر از آن بود. آنگاه نمودارهای این توزیع‌های فراوانی را رسم کرد. محور افقی این نمودارها معرف درآمد و محور عمودی، تعداد افراد با درآمد x یا بیشتر را نشان می‌داد.

پارتو دریافت که دراغلب حالات مورد بررسی، منحنی‌های نشان دهنده ی این نوع توزیع‌های درآمد شکلی مشابه دارند. یعنی منحنی‌هایی هستند که معادله آنها با فرمول زیر مشخص می‌شود:

که در آنها b کمترین حد درآمدی است که منحنی از آن شروع می‌شود، درحالی که A, پارامترهای معین مثبت هستند. نمودار این منحنی، منحنی پارتو نام دارد.[۱]

تعریف[ویرایش]

تابع چگالی احتمال[ویرایش]

تابع چگالی احتمال یک توزیع پارتو چنین است.

ویژگی‌ها[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی در توزیع پارتو برابر است با:

و همچنین معکوس آن برابر است با:

میانه[ویرایش]

میانه در توزیع پارتو برابر است با:

مد[ویرایش]

مد در توزیع پارتو برابر است با:

امید ریاضی[ویرایش]

امید ریاضی یک توزیع پارتو برابر است با:

واریانس[ویرایش]

واریانس یک توزیع پارتو برابر است با:

برای واریانس تعریف نشده است.

انحراف معیار[ویرایش]

انحراف معیار یک توزیع پارتو برابر است با:

توزیع پارتو تعمیم‌یافته[ویرایش]

5 نوع توزیع تعمیم یافته وجود دارد که توزیع پارتو را تعمیم می‌دهد.[۲][۳]

توزیع‌های پارتو
شرایط
نوع 1
نوع 2
نوع Lomax
نوع 3
نوع 4

کاربردها[ویرایش]

اصل پارتو[ویرایش]

پارتو در ابتدا از این توزیع برای توصیف تخصیص ثروت در میان افراد استفاده می کرد، زیرا به نظر می رسید که بخش بزرگی از ثروت هر جامعه متعلق به درصد کمتر از مردم در آن جامعه است. او همچنین برای توصیف توزیع درآمد از آن استفاده کرد.[۴] این ایده گاهی به سادگی به عنوان اصل پارتو یا "حکم 80-20" بیان می شود که می گوید 20 درصد از جمعیت 80 درصد ثروت را کنترل می کنند.[۵] با این وجود، قواعد 80-20 به ارزش خاص مربوط می شود و در واقع، اطلاعات پارتو درباره مالیات بر درآمد بریتانیا در سیاست های اقتصادی خود نشان می دهد که حدود 30 درصد از جمعیت حدود 70 درصد درآمد داشته است. نمودار تابع چگالی احتمال (PDF) نشان می دهد که احتمال یا کسری از جمعیت که دارای مقدار کمی ثروت در هر فرد است نسبتا بالا است و پس از آن به طور ثابتی به عنوان افزایش ثروت کاهش می یابد. (توجه داشته باشید که توزیع پارتو برای ثروت برای انتهای پایین واقع‌گرایانه نیست. در حقیقت، ارزش خالص ممکن است حتی منفی باشد).
«انجام هر کدام از کارهای موجود در لیست شما ممکن است به یک اندازه وقت شما را بگیرد ولی انجام یک یا دو تای آنها چند برابر هر یک از سایر موارد برای شما سودمند خواهد بود.گاهی پیش می آید که ارزش یکی از ده کار یا فعالیتی که شما در لیست خود دارید به تنهایی می تواند بیش از مجموع سایر فعالیت ها در موفقیت شما ارزشمند باشد. این کار بی تردید همان قورباغه ای است که باید اول از همه قورت بدهید.می توانید حدس بزنید که یک فرد معمولی احتمالاً در انجام چه کارهایی بیشتر تنبلی می کند؟ واقعیت تاسف بار این است که اکثر مردم در مورد انجام همان ده یا بیست درصد از فعالیت هایی که در صدر قرار دارند و بیشترین ارزش و اهمیت را دارند تنبلی می کنند یعنی در مورد همان اقلیت بسیار مهم. در عوض وقت خود را صرف هشتاد درصد فعالیت هایی می کنند که در موفقیت آنها اهمیت بسیار کمی دارد و تاثیر ناچیزی در دست یابی به نتایج ارزشمند می گذارد. یعنی همان اکثریت کم اهمیت.» [۶]

دیگر کاربرد‌های آن[ویرایش]

بسیاری از پدیده‌های اجتماعی، علمی و ژئوفیزیکی توسط توزیع پارتو توصیف می‌شوند. این توزیع در مباحث طول عمر و قابلیت اعتماد دارای اهمیت فراوان است.
از دیگر کاربردهای آن میتوان به موارد زیر اشاره کرد:
  • اندازه شهرک های انسانی (چند شهر بزرگ دربرابر بسیاری از شهرهای کوچک و روستاها)[۷]
  • توزیع حجم فایل ترافیک اینترنتی که از پروتکل TCP استفاده می کند (چند عدد بزرگ دربرابر بسیاری از عددهای کوچک)[۷]
  • نرخ خطا در هارد دیسک[۸]
  • خوشه های معادله بوز-اینشتین نزدیک صفر مطلق
  • ارزش ذخایر نفت در میدان‌های نفتی (چند میدان بزرگ دربرابر بسیاری از میدان‌های کوچک)[۷]
  • توزیع طولی در مشاغل سوپر کامپيوترها (چند عدد بزرگ دربرابر بسیاری از عددهای کوچک)
  • قیمت استاندارد شده بر روی سهام فردی[۷]
  • اندازه ذرات شن و ماسه[۷]
  • اندازه شهاب سنگ‌ها
  • بارندگی سالانه حداکثر یک روزه و تخلیه رودخانه[۹]

نمونه‌ای از توزیع پارتو[ویرایش]

درآمد یک جمعیت خاص[ویرایش]

فرض کنید که درآمد یک جمعیت خاص دارای توزیع پارتو با و است.[۱۰]

حال می‌خواهیم نسبت جمعیت افراد با درآمد 2000 تا 4000 را بدست آوریم.

حال می‌خواهیم درآمد آن‌ها را بدست آوریم.

درآمد کل نیز برابر است با:

بنابراین 10.9375 درصد افراد دارای درامدی بین 2000 تا 4000 هستند که 18.75 درصد درآمد کل را دارند.

کد در زبان R[ویرایش]

 1 library("EnvStats") # Package for Environmental Statistics
 2 
 3 pareto <- rpareto(n = 10000000, location = 1000, shape = 3) # Get 10000000 numbers of Pareto distribution
 4 pareto <- pareto[pareto > 1000] # Get numbers greater than 1000
 5 number <- 0 # Number of people with income from 2000 to 4000
 6 
 7 for (i in pareto) {
 8   if (i <= 4000 && i >= 2000) {
 9     number = number + 1
10   }
11 }
12 cat("proportion of people with income from 2000 to 4000:", number / length(pareto))
13 
14 paretoPlot <- pareto[pareto < 5000] # Get numbers less than 5,000 to draw charts
15 hist(paretoPlot, breaks = 150) # Draw charts

منابع[ویرایش]

  1. «پایان‌نامه تحصیلی دوره‌ی کارشناسی ارشد». رضا پورطاهری, شهریور 70. 
  2. B.، Douglas, J.. Analysis with standard contagious distributions. Fairland, Md.: International Co-operative Pub. House، 1980. شابک ‎۰۸۹۹۷۴۰۱۲X. OCLC ۷۷۹۲۱۳۷. 
  3. Kotz، Samuel. Encyclopedia of Statistical Sciences. Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, Inc.، 2004-07-15. شابک ‎۰۴۷۱۶۶۷۱۹۶. 
  4. Pareto، Vilfredo. Cours d'économie politique. Librairie Droz، 1964. شابک ‎۹۷۸۲۶۰۰۰۴۰۱۴۳. 
  5. Notestein, Frank W. (1974-01). "The World Population Year". Population Index. 40 (1): 18. doi:10.2307/2733536. ISSN 0032-4701. Check date values in: |date= (کمک)
  6. Sardana, G.D. (2007-07). "Eat That Frog! Brian Tracy". Paradigm. 11 (2): 83–84. doi:10.1177/0971890720070213. ISSN 0971-8907. Check date values in: |date= (کمک)
  7. ۷٫۰ ۷٫۱ ۷٫۲ ۷٫۳ ۷٫۴ Reed, William J.; Jorgensen, Murray (2004-12-31). "The Double Pareto-Lognormal Distribution—A New Parametric Model for Size Distributions". Communications in Statistics - Theory and Methods (به انگلیسی). 33 (8): 1733–1753. doi:10.1081/sta-120037438. ISSN 0361-0926.
  8. Schroeder, Bianca; Damouras, Sotirios; Gill, Phillipa (2010-09-01). "Understanding latent sector errors and how to protect against them". ACM Transactions on Storage. 6 (3): 1–23. doi:10.1145/1837915.1837917. ISSN 1553-3077.
  9. Random Variables and Cumulative Distribution. 1000 20th Street, Bellingham, WA 98227-0010 USA: SPIE. 3–3. شابک ‎۹۷۸۰۸۱۹۴۸۷۰۱۸. 
  10. “AP Statistics Curriculum 2007 Pareto - Socr”. wiki.stat.ucla.edu. Retrieved 2018-10-29.