توزیع خی دو نامرکزی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
توزیع خی دو نامرکزی
پارامترها k>0 درجهٔ آزادی

مؤلفه میزان نامرکزی بودن

تابع چگالی احتمال
WikiPlot.jpg
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیع تجمعی
WikiPlot3.jpg
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین
میانه
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)
تابع مشخصه

توزیع خی دو نامرکزی (به انگلیسی: Noncentral chi-squared distribution) تعمیمی از توزیع خی دو است؛ در حقیقت توزیع خی دو (یا توزیع کی‌دو یا ) حالت خاصی از توزیع خی دو نامرکزی است.[۱] درشاخهٔ آمار چندمتغیره و دیگر آمارها توزیع خی دو نامرکزی بسیار پرکاربرد است. این توزیع را معمولاً زمانی که فرض صفر در آزمون فرض آماری درست نباشد، می‌بینیم.[۲]

تعریف[ویرایش]

اگر () k تا متغیر تصادفی مستقل باشند، به طوری که:

آنگاه متغیر تصادفی

از توزیع خی دو نامرکزی پیروی می‌کند:

k درجه آزادی است که برابر تعداد هاست و مؤلفه میزان نامرکزی بودن (به انگلیسی :Noncentrality paramete) است که تعریفی به شکل زیر دارد:

با این تعریف وقتی باشد، توزیع همان توزیع خی دو خواهد بود.[۳]

نمونه‌گیری[ویرایش]

برای تولید یک نمونه تصادفی از این توزیع می‌توانید فرایند شبه کد زیر را دنبال کنید:

برای k و مشخص  :

قرار بده

متغیر تصادفی را نمونه‌گیری کن

متغیر تصادفی را نمونه‌گیری کن

را برگردان

x یک متغیر تصادفی از توزیع خواهد بود.[۴]

تابع چگالی احتمال[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع خی دو نامرکزی با درجهٔ آزادی k و میزان نامرکزی بودن که با آن را نشان می‌دهیم، به صورت زیر است:[۳]

این تابع را به شکل‌های دیگر نیز می‌توان نوشت، همچون :

که در آن تابع بسل نوع اول است که برابر است با :

نمودار چگالی احتمال[ویرایش]

می‌توانید نمودار چگالی احتمال این توزیع را در شکل‌های زیر ببینید:

تابع توزیع تجمعی[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی این توزیع را می‌توان اینگونه نوشت:[۴]

نمودار توزیع تجمعی[ویرایش]

تابع مولد گشتاور[ویرایش]

اگرتابع مولد گشتاور را با نشان دهیم، طبق تعریف تابع مولد گشتاور داریم:

که برای این توزیع برابر است با :

امید ریاضی و واریانس[ویرایش]

مقدار امید ریاضی برای این توزیع برابر است با حاصل جمع درجهٔ آزادی و میزان نامرکزی بودن (noncentrality parameter):

واریانس آن هم تابعی از است:

توزیع‌های مشابه این خانواده[ویرایش]

از خانوادهٔ توزیع‌های خی و خی دو علاوه بر توزیع خی دو نامرکزی می‌توان به توزیع خی٬توزیع خی‌دو ٬توزیع خی نامرکزی نیز اشاره کرد. توزیع خی دو را که پیش تر گفتیم که همان توزیع خی دو نامرکزی است زمانی که باشد. می‌توان اینگونه نوشت که

اگر () k تا متغیر تصادفی مستقل باشند، به طوری که:

آنگاه:

  • از توزیع خی دو پیروی می‌کند.
  • از توزیع خی پیروی می‌کند.
  • از توزیع خی نامرکزی پیروی می‌کند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. https://www.mathworks.com/help/stats/noncentral-chi-square-distribution.html
  2. Muirhead, R. (2005) Aspects of Multivariate Statistical Theory (2nd Edition). Wiley. ISBN 0-471-76985-1
  3. ۳٫۰ ۳٫۱ Hisashi Tanizaki (2004) , Computational Methods in Statistics and Econometrics , ISBN 0-203-02202-5
  4. ۴٫۰ ۴٫۱ K. Krishnamoorthy (2006) , Handbook of Statistical Distributions with Applications ,ISBN 1-58488-635-8