تابع توزیع تجمعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .
تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..

[۱]

تابع توزیع تجمعی تابعی است غیر صفر و هم نوای صعودی که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی:

[۲]

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که


تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

[۳]

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

که در اینجا به معنی حد چپ تابع است وقتی که به میل می‌کند[۱]

خواص تابع توزیع تجمعی[ویرایش]

  • تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:

  • تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :

  • تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
  • [۱]
  • اگر باشد، آنگاه :

  • اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.[۴]

مثال[ویرایش]

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:[۵]

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع[ویرایش]

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

توزیع طبیعی استاندارد[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار[ویرایش]

توزیع پواسون[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} و به شکل زیر تعریف می‌شود:

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار[ویرایش]

توزیع نمایی[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای به شکل زیر تعریف می‌شود :

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:

نمودار[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام[ویرایش]

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:

با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره به این شکل خواهد بود:

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

  • [۶]

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Cumulative_distribution_function&oldid=437556047
  2. Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, .
  3. Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
  4. https://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf
  5. https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/
  6. https://www.probabilitycourse.com/chapter5/5_2_2_joint_cdf.php