توزیع برنولی

برنولی

پارامترها	$p>0\,$ شانس موفقیت (حقیقی)
تکیه‌گاه	$k=\{0,1\}\,$
تابع چگالی احتمال	${\begin{matrix}q&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}$
تابع توزیع تجمعی	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}$
میانگین	$p\,$
میانه	N/A
مُد	${\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}$
واریانس	$pq\,$
چولگی	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
کشیدگی	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
آنتروپی	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
تابع مولد گشتاور	$q+pe^{t}\,$
تابع مشخصه	$q+pe^{it}\,$

توزیع برنولی، توزیعی گسسته است که نام آن از نام دانشمند سوئیسی ژاکوب برنولی گرفته شده‌است. توزیع برنولی یک توزیع گسسته است که مقادیر یک (در صورت موفقیت آزمایش ) و صفر را (در صورت شکست) می‌گیرد. احتمال موفقیت آزمایش برابر p است و احتمال شکست آن برابر q=1-p است. بنابراین اگر X یک متغیر تصادفی با توزیع برنولی باشد داریم:

$\Pr(X=1)\!$ $\;1-\Pr(X=0)=\!$ $1-q=p.\!$

و تابع توزیع (pmf) آن به صورت زیر خواهد بود:

$f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{if }}k=1,\\1-p&{\mbox{if }}k=0,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{matrix}}\right.$

امید ریاضی این توزیع برابر p و واریانس آن برابر (p(1-p است.

کشیدگی این توزیع برای مقادیر p نزدیک به صفر یا یک، به سمت بی‌نهایت میل می‌کند و برای p=۰٫۵ کمترین مقدار کشیدگی را خواهیم داشت.

توزیع برنولی جزء خانواده نمایی طبقه‌بندی می‌شود.

توزیع‌های مرتبط

اگر $X_{1},..,X_{n}$ متغیرهای تصادفی با توزیع برنولی با پارامتر یکسان و مستقل باشند، آنگاه متغیر تصادفی $Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {Binomial} (n,p)$ یک توزیع دوجمله‌ای خواهد بود. در واقع توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با پارامتر n=۱ یعنی $\mathrm {Binomial} (1,p)$ خواهد بود. در واقع، تابع جرم توزیع دوجمله ای به صورت زیر می‌باشد.

$P(x)={\binom {n}{x}}p^{x}(1-p)^{n-x}$

منابع

• Bernoulli distribution. (2007, December 1). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 07:54, July 4, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Bernoulli_distribution&oldid=431746352