کمینه مربعات خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در محاسبات عددی، اگر یک مجموعه از نقاط را بخواهید با یک خط درون‌یابی کنید و شیب خط (m) و عرض از مبدا (h) را بدست آورید، کافی است که خطای تعریف شده (E) در زیر را کمینه (مینیمم) کنید:

\begin{alignat}{7}
E=(y_i-mx_i-h)^2\\
\frac{dE}{dm}=0 \to{} \Sigma_i{x_i(y_i-mx_i-h)=0}\\
\frac{dE}{dh}=0 \to{} \Sigma_i{(y_i-mx_i-h)=0}\\
\to{} m=\frac{\Sigma_i{x_iy_i}-\bar{x}\Sigma_i{y_i}}{\Sigma_i{x_i^2}-N\bar{x}^2}\\
\to{} h=\frac{1}{N}(\Sigma_i{y_i}-mN\bar{x})
\end{alignat}

که \bar{x}=\frac{\Sigma_i{x_i}}{N} میانگین x_iها و N تعداد نقاط می‌باشد.m و h بدست آمده، بهینه خط عبوری از این نقاط را می‌دهد.

از این روش می‌توانید برای درون‌یابی چند جمله‌ای‌های مرتبه بالاتر نیز استفاده کنید، کافی است که تعریف خطا (E) را مطابق با چند جمله‌ای که می خواهید عوض کرده بقیه محاسبات را همانطور ادامه داده و ضرایب را بدست آورید.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Linear least squares»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۰ سپتامبر ۲۰۰۸).