توزیع لاپلاس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
لاپلاس
پارامترها مکان (حقیقی)
مقیاس (حقیقی)
تابع چگالی احتمال
Probability density plots of Laplace distributions
تابع توزیع تجمعی
تابع توزیع تجمعی
Cumulative distribution plots of Laplace distributions
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف) see text
میانگین
میانه
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف) for
تابع مشخصه

در نظریه آمار و احتمالات، توزیع لاپلاس (laplace distribution)، توزیعی پیوسته‌است که بنام آقای پیر سیمون لاپلاس (pierre-Simon Laplace) نامگذاری شده. گاهی نیزی توزیع نمایی دوتایی نامیده می‌شود، چراکه همانند دو توزیع نمایی (همراه متغیر مکان) که کنار همدیگر قرار داده شده‌اند، می‌ماند. اگرچه این نام برخی اوقات برای خطاب توزیع گامبل مورد استفاده قرار می‌گیرد. تفاوت بین دو متغیر تصادفی مستقل از توزیع یکسان نمایی توسط توزیع لاپلاس مورد بررسی قرار می‌گیرد، به همین شکل حرکت براونی که در یک توزیع زمانی نمایی اندازه‌گیری شده. افزایش جنبش لاپلاس یا پراکندگی عملیات گاما که در یک مقیاس زمانی اندازه‌گیری می‌شود نیز از توزیع لاپلاس پیروی می‌کنند.

خصوصیات[ویرایش]

تابع چگالی احتمال[ویرایش]

تابع چگالی احتمال توزیع لاپلاس با پارامترهای μ و b:

در اینجا، یک پارامتر مکانی است و b >۰، که برخی اوقات به عنوان انحراف بیان می‌شود، یک پارامتر مقیاس است. اگر و ، نیم خط مثبت دقیقاً یک توزیع نمایی با مقیاس ۱/۲ خواهد بود.

تابع چگالی احتمال لاپلاس همچنین یادآور توزیع نرمال است؛ گرچه، برخلاف توزیع نرمال که براساس مجذور اختلاف با میانگین () بیان می‌شود، چگالی لاپلاس براساس قدر مطلق تفاضل از میانگین بیان می‌گردد. در نتیجه، توزیع لاپلاس دنباله بزرگتری از توزیع نرمال دارد.

تابع توزیع تجمعی[ویرایش]

توزیع لاپلاس برای انتگرال‌گیری راحت است (با توجه به تقارن توزیع) بخاطر وجود تابع قدرمطلق. تابع توزیع تجمعی آن به صورت زیر است:

تابع وارون تجمعی آن همانند زیر است:

تولید متغیر تصادفی بر اساس توزیع لاپلاس[ویرایش]

اگر متغیر تصادفی از توزیع یکنواخت در بازه را داشته باشیم، متغیر تصادفی

از توزیع لاپلاس با پارامترهای و پیروی می‌کند. این متغیر از روی تابع وارون تجمعی که در بالا به آن اشاره شد، بدست می‌آید.

متغیر تصادفی توزیع می‌تواند از روی تفاضل دو متغیر تصادفی از توزیع نمایی نیز بدست بیاید. همچنین، نیز از لگاریتم نرخ دو متغیر تصادفی توزیع یکنواخت نیز پدید بیاید.

تخمین پارامتر[ویرایش]

با داشتن N نمونه از توزیع یکسان و مستقل از هم ، برآورد درست‌نمایی بیشینه (MLE) از میانهٔ نمونه‌ها است، و برآورد درست‌نمایی بیشینه از میانگین قدر مطلق انحراف از میانه است:

(نشانگر ارتباط توزیع لاپلاس و حداقل انحراف مطلق است)

تاریخچه[ویرایش]

از این توزیع غالباً به عنوان اولین قانون خطاهای لاپلاس شناخته می‌شود. او این قانون را در سال ۱۷۷۴ زمانی که متوجه شد تکرار خطاها می‌تواند به شکل تابعی نمایی از اندازه‌اش، وقتی که علامت آن مورد توجه نگیرد، بیان شود، منتشر نمود.

کینز مقاله‌ای بر پایهٔ پایان نامهٔ قبلی خود در سال ۱۹۹۱ منتشر نمود که در آن نشان داد توزیع لاپلاس انحراف از معیار را کمینه می‌کند.

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیای انگلیسی


پیوند به بیرون[ویرایش]