میانه (آمار)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو

میانه (به انگلیسی: Median) در آمار و نظریه احتمالات یکی از سنجش‌های گرایش به مرکز است. میانه عددی است که یک جمعیت آماری یا یک توزیع احتمالی را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. یکی از مزیت‌های مهم میانه نسبت به میانگین این است که میانه از اعداد بسیار بزرگ و بسیار کوچک مجموعهٔ اندازه‌ها متأثر نمی‌شود.[۱]

یکی از مهم‌ترین خاصیت میانه این است که مجموع قدر مطلق تفاوت‌های مقادیر مختلف متغیر تصادفی از میانه کمینه است.[۱] یعنی:

بررسی میانه در مجموعه شمارا[ویرایش]

به دست آوردن میانه در دو مجموعه شمارا فرد عضوی و زوج عضوی

برای پیدا کردن میانه در یک مجموعه عضوی شمارا، ابتدا باید اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کرد.

اگر تعداد اعداد مجموعه مرتب شده، فرد باشد عدد وسط میانه (عدد ردیف ) خواهد بود.[۲] به‌طور مثال در مجموعه هفت عضوی {۱٬۳٬۳٬۵٬۷٬۸٬۹} میانه عدد چهارم یعنی ۵ است.

اگر تعداد اعداد محموعه مرتب شده، زوج باشد، میانه برابر میانگین دو عدد میانی (عددهای ردیف و ) خواهد بود.[۲] به‌طور مثال در مجموعه هشت عضوی {۱٬۲٬۳٬۳٬۵٬۶٬۷٬۱۰} میانه برابر میانگین اعداد چهارم و پنجم(۳ و ۵)، یعنی ۴ خواهد بود.

مقایسه میانه، میانگین و مد[ویرایش]

مقایسه مشترک شاخص‌های مرکزی در مجموعه { ۱۰, ۷, ۶, ۵, ۳, ۳, ۲, ۱ }
نوع توضیح مثال نتیجه
میانگین حسابی جمع ارزش یک مجموعه داده تقسیم بر تعداد ارزش‌ها: ۸ / (۱+۲+۳+۳+۵+۶+۷+۱۰) ۴٫۶۲۵
میانه (آمار) ارزش عددی واقع شده در وسط یک مجموعه داده پس از حذف بزرگترین و کوچکترین داده از مجموعه ۱۰, ۷, ۶, ۵, ۳, ۳, ۲, ۱ ۴=۲÷(۳+۵)
مد پر تکرارترین ارزش در یک مجموعه داده ۱۰, ۷, ۶, ۵, ۳, ۳, ۲, ۱ ۳

میانه در توزیع متغیر تصادفی پیوسته[ویرایش]

نمایش مد، میانه و میانگین در یک تابع توزیع احتمال.[۳]

برای هر توزیع احتمال f با تابع توزیع تجمعی F میانه m نقطه‌ای نقطه‌ای تعریف می‌شود که:

نامساوی‌های بالا را می‌توان به شکل انتگرالی نیز نشان داد:

با توجه به این که تابع توزیع احتمال f برابر با مشتق تابع توزیع تجمعی F است داریم:

پانویس[ویرایش]

مطالعه بیشتر[ویرایش]