تابع مولد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات تابع مولد یک سری توانی است که ضرایب آن اطلاعاتی در مورد دنبالهٔ فرضی an (با اندیس‌های طبیعی) را در خود رمز می‌کنند. چند نوع تابع مولد وجود دارد. توابع مولد معمولی، توابع مولد نمایی، سری‌های لامبرت، سری‌های بل و سری دیریکله. تعریف‌ها و مثال‌هایی در زیر داده شده است. هر دنباله‌ای یک تابع مولد از هر نوع دارد.

توابع مولد اغلب به صورت یک فرم بسته مثل تابعی از یک متغیر مستقل x بیان می‌شوند. گاهی اوقات یک تابع مولد با یک مقدار خاص x مقداردهی می‌شود. به هر حال، باید توجه داشت که توابع مولد سری‌هایی توانی هستند و لازم نیست که برای همهٔ مقادیر x رفتار مشابهی داشته باشند.

تعاریف[ویرایش]

تابع مولد معمولی[ویرایش]

تابع مولد معمولی یک دنبالهٔ an عبارتست از

G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n

اگر an تابع احتمالی وزن دار از یک متغیر تصادفی گسسته باشد انگاه تابع مولد معمولی اش، تابع مولد احتمال نامیده می‌شود.

تابع مولد معمولی می‌تواند به دنباله‌هایی با اندیس‌های چند گانه تعمیم بیابند برای مثال تابع مولد دنباله یa_{m,n}(که mوn اعداد طبیعی اند) عبارتست از

G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n

تابع مولد نمایی[ویرایش]

تابع مولد نمایی دنبالهٔ an عبارتست از

EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}.

تابع مولد poisson[ویرایش]

تابع مولد poisson دنبالهٔ an

G(a_{m,n};x,y)=\sum_{m,n=0}^{\infty}a_{m,n}x^my^n

سریهای Lambert[ویرایش]

سریهای Lambert دنبالهٔ an عبارتست از

EG(a_n;x)=\sum _{n=0}^{\infty} a_n \frac{x^n}{n!}

توجه کنید اندیس anدر سری‌های Lambert بایک شروع می‌شود (نه باصفر)

سری‌های Bell[ویرایش]

سریBell یک تابع (f(n و یک عدد اولP عبارتست از

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n

مثال[ویرایش]

تابع مولد برای دنباله اعداد مربع کامل

تابع مولد معمولی[ویرایش]

G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}.

تابع مولد نمایی[ویرایش]

EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x

سری Bell[ویرایش]

f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty p^{2n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}

منابع[ویرایش]

ویکی‌پدیا ی انگلیسی