تابع دلتای دیراک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
Dirac distribution PDF.png
تابع پله‌ای هوی‌ساید
تابع دلتای دیراک، حینی که حد (در معنای توزیعات) دنباله توزیع‌های طبیعی در مرکز صفر قرار گرفته وقتی .

در ریاضیات و علوم، تابع دلتای دیراک، یا تابع ، یک تابع تعمیم‌یافته، یا توزیع، روی محور اعداد حقیقی است که همه جا مقدار صفر دارد به جز در صفر، و روی کل محور حقیقی انتگرالی با مقدار یک دارد.[۱][۲][۳] تابع دلتا را گاهی به این صورت مورد ملاحظه قرار می دهند: تابعی فرضی که منحنی اش در مرکز مختصات میخی به طور نامحدود بلند، و به طور نامحدود باریک است، با مساحت کل برابر با یک در زیر میخ، و از لحاظ فیزیکی نمایان گر یک جرم نقطه‌ای یا بار نقطه‌ای ایده آل شده.

این تابع شکل خاصی از ضربهٔ واحد است که اولین بار توسط فیزیکدان انگلیسی پاول دیراک مطرح شد و به نام او نامگذاری گردید.

این تابع که با حرف یونانی دلتا نمایش داده می‌شود، در نقطهٔ مقداری برابر بی‌نهایت و در دیگر نقاط مقداری برابر با صفر دارد و در نتیجه انتگرال آن نیز روی بازهٔ منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت برابر یک خواهد بود.

باید توجه داشت که تابع دلتا با وجود اینکه با عنوان تابع خوانده می‌شود، در مفهوم، تابع نیست و بیشتر به یک تابع توزیع که در علم آمار کاربرد دارد، شبیه‌است. به‌عنوان مثال ضربهٔ یک چوب بیسبال به توپ در زمان کوتاهی که می‌توان آن را صفر محسوب کرد، وارد می‌شود. در نتیجه در این زمان نیروی واردشده به توپ بصورت یک تابع ظاهر نمی‌شود.

تابع دلتا مشتق تابع پله‌ای هوی‌ساید محسوب گردد.

تعریف[ویرایش]

دلتای دیراک را با اغماض می‌توان چنین تعریف کرد:

از تبعات این تعریف یکی این است که:

خواص[ویرایش]

خواص جبری[ویرایش]

حاصل ضرب توزیعی δ با x برابر با صفر است:

و بالعکس اگر (xf(x) = xg(x، که f و g توزیع هستند، آن گاه:

به ازای عدد ثابت c ای.

انتقال[ویرایش]

انتگرال تابع دیراک تحت تاخیر زمانی را، این رابطه می دهد:

که گاهی اوقات به عنوان خاصیت غربال کردن (به انگلیسی: sifting)[۴] یا خاصیت نمونه برداری (به انگلیسی: sampling) به آن اشاره می شود. گفته می شود که تابع دلتا مقدار را در نقطه t = T "غربال" می کند.

جستارهای وابسته[ویرایش]

دیگر جستارها[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  1. Dirac 1958, §15 The δ function, p. 58
  2. Gel'fand & Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3
  3. Schwartz 1950, p. 3
  4. Weisstein, Eric W. "Sifting Property"MathWorld.