توزیع فوق‌هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

توزیع فوق هندسی مجموعه ای از N عضو را در نظر بگیرید که k عضو آن دارای یک ویژگی و بقیه، فاقد این ویژگی هستند. مانند 500 لامپ موجود در یک جعبه که 300 تای آن سالم و بقیه معیوب باشند. حال فرض کنید می خواهیم از این مجموعه، n عضو به صورت تصادفی (بدون جایگذاری) انتخاب کنیم. دراین صورت اگر متغیر تصادفیX تعداد عناصری در n برداشت باشد که دارای ویژگی موردنظر هستند، می گوئیم X دارای توزیع فوق هندسی است.

فوقِ هندسی
پارامترها


تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی
‫تکیه‌گاه
تابع چگالی احتمال
تابع توزیع تجمعی‫ (سی‌دی‌اف)
میانگین
میانه
مُد
واریانس
چولگی
کشیدگی
انتروپی
‫تابع مولد گشتاور (ام‌جی‌اف)
تابع مشخصه

تعریف[ویرایش]

ابتدا برای درک بهتر این توزیع یک مثال مطرح می‌کنیم. فرض کنید از جعبه‌ای شامل D فیوز معیوب و N-D فیوز سالم، n فیوز را بطور تصادفی و بدون‌جایگذاری انتخاب‌کنیم. به‌علاوه فرض‌کنیدn، تعداد فیوزهای استخراجی از تعداد فیوزهای معیوب و فیوزهای سالم تجاوز نکند.فرض‌کنید متغیرتصادفی X تعداد فیوزهای معیوب خارج شده باشد.بنابراین:
تعریف: فرض کنید D,N و n اعداد صحیح و مثبت‌اند، با . دراینصورت،


را تابع جرم‌احتمال توزیع فوق‌هندسی می‌گویند.

اثبات ترکیبیاتی تابع احتمال بودن[ویرایش]

با استفاده از اتحاد ترکیبیاتی واندرموند به راحتی می‌توان نتیجه‌گرفت که


که با استفاده از آن برای همه‌ی مقادیر k به‌سادگی می‌توان را نتیجه‌گرفت.

متوسط و واریانس متغیرتصادفی فوق‌هندسی[ویرایش]

برای متغیرتصادفی فوق‌هندسی X که در بالا تعریف شد داریم:




توجه‌کنید که اگر آزمایش ستخراج n قلم کالا از جعبه‌ای شامل D قلم کالای معیوب و N-D قلم کالای سالم را با جایگذاری انجام‌دهیم، دراینصورت X دارای توزیع دوجمله‌ای با پارامترهای n و است. پس:


اینها نشان‌می‌دهند که اگر اقلام با جایگذاری انتخاب شوند، دراینصورت امیدریاضی X تغییر نمی‌کند اما واریانس X افزایش پیدامی‌کند. با وجود این اگر n بسیار کوچکتر از N باشد دراینصورت باتوجه به فرمول واریانس، استخراج باجایگذاری تقریب خوبی برای استخراج بدون‌جایگذاری است.

مثال[ویرایش]

در یک کیسه 24 مهره وجود دارد که 4 تای آن قرمز و مابقی سفید هستند. اگر از این کیسه 6 مهره به تصادف و بدون جایگذاری برداریم وX تعداد مهره های قرمز باشد؛ توزیع احتمال X را به دست آورید. احتمال اینکه هیچ مهره قرمزی بدست نیاید چقدر است؟ داریم n=6 ,D=4 , N=24 بنابراین توزیع احتمال X فوق هندسی و به صورت زیر است:


درنتیجه احتمال اینکه هیچ مهره‌ای قرمز نباشد می‌شود:

منابع[ویرایش]

  • saeed_ghahramani. Fundumentals_of_Probability_3rd.Edition.