درجه آزادی (آمار)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

درجه آزادی یکی از مفاهیم بنیادین در آمار است. درک بسیاری از مفاهیم مطرح در آمار وابسته به درک مناسبی از این مفهوم است. بر اساس زمینهٔ کاربرد و شیوهٔ نگرش می‌توان تعاریف مختلفی برای آن ارائه نمود که همه یک مفهومند:

  • در نظریهٔ برآورد:

تعداد مقادیری که یک آماره امکان تغییر دارد[ویرایش]

تعداد مشاهدات مستقل منهای تعداد پارامترهای برآورد شده. [۱] [۲]

بطور معادل: تعداد مشاهدات مستقل منهای تعداد روابط معلوم میان مشاهدات [۳]

  • در نظریه آزمون:

بعد فضای مجهول (مدل کامل) منهای بعد فضای مفروض (مدل مقید)[۴]

رتبهٔ یک فرم درجه دوم [۵]

بطور معادل: تعداد ابعاد یک زیر فضا که یک بردار می‌تواند آزادانه گردش کند (مربع طول بردار یک فرم درجه دوم است)[۶]

درک شهودی[ویرایش]

مثال: یک عدد ثابت امکان تغییر ندارد پس درجه آزادی آن برابر صفر است.

یک نقطه در صفحه یک رابطه میان دو متغیر در فضای دو بعدی است. با این نقطه نمیتوان میزان همبستگی خطی دو متغیر را با برآورد خط رگرسیون تخمین زد. چون بینهایت خط از این نقطه گذراست. (تصویر مقابل) در این مثال درجه آزادی صفر است (تعداد مشاهدات مستقل - تعداد روابط معلوم میان مشاهدات = 0) اگر خطی را بعنوان خط رگرسیونی در نظر بگیریم، این مدل نه قابل رد و نه قابل قبول است. بنابراین تعداد نمونه های قابل استفاده برای این مدل صفر است.

[[پرونده:]][[پرونده:]]

برای رسم خط رگرسیون حداقل دو نقطه لازم است. با دو نقطه یک درجه آزادی وجود دارد. از دو نقطه فقط یک خط گذر میکند و این خط تنها برآورد ممکن است. با اینکه دقت برآورد 100 درصد است اما این دقت کاذب به علت کم بودن درجات آزادی و اطلاعات قابل استفاده است. نمونه های زیادی از تحقیقات با رسیدن به دقتی بالا تصور میکنند که مدل بدست آمده مناسب است . در حالی که درجات آزادی کم باعث این اشتباه شده است.

مثال: اگر دو مشاهده داشته باشیم، برای برآورد میانگین دو مشاهدهء مستقل داریم، اما برای برآورد واریانس تنها یک مشاهدهء مستقل وجود دارد. زیرا هر دو مشاهده دارای یک فاصله از میانگین هستند.

دیدگاه فلسفی[ویرایش]

برای درک بهتر این مفهوم میتوان درجهء آزادی را یک معادل برای درجهء ابطال پذیری از دیدگاه فلاسفه ای مانند کارل پوپر دانست. اگر در مسئله ای درجات آزادی کم

باشد معادل است با اینکه ابطال پذیری آن مسئله کم است. یعنی با هر مشاهده ای تایید میشود و قابل ابطال نیست.

منابع[ویرایش]

  1. Jaccard, J. & Becker, M.A. (1990). Statistics for the behavioral sciences. (2nd ed.). Belmont, CA: Wadsworth.
  2. Howell, D. C. (1992). Statistical methods for psychology. (3rd ed.). Belmont, CA: Duxberry.
  3. Walker, H. W. (1940). Degrees of Freedom. Journal of Educational Psychology, 31, 253-269.
  4. Good, I. J. (1973). What are degrees of freedom? American Statisticians, 27, 227- 228.
  5. Cramer, H. (1946). Mathematical methods of statistics. Princeton, NJ: Princeton University Press.
  6. Muirhead ,1994