انتگرال‌گیری جزء به جزء

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
انتگرال

فهرست‌های انتگرال‌ها
انتگرال مجازی
قواعد انتگرال‌گیری:
انتگرال‌گیری جزء به جزء
Disk integration ‏(en)
Shell integration ‏(en)
انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)
جانشانی مثلثاتی
کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)
مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)

انتگرال گیری جزء به جزء به روایت چند مثال با پویا نمایی توضیح داده شده است.

انتگرال‌گیری جزء به جزء در علم ریاضیات و بخصوص در محاسبه انتگرال کاربرد دارد. در این روش یک انتگرال که محاسبه آن غیرممکن یا پیچیده است با تغییر متغیر به انتگرالی هم ارز ولی قابل محاسبه تبدیل می‌شود.

شرح روش[ویرایش]

به صورت ساده اگر ‎u = f(x)‎ و ‎v = g(x) ‎ و همچنین دیفرانسیل آن‌ها به صورت du = f '(x) dx و dv = g'(x) dx باشد داریم:

که به صورت ساده‌تر می‌توان نوشت:

روش جدولی[ویرایش]

با اینکه روش بازگشتی تعریف شده درست است، معمولاً به خاطر سپردن و کاربرد آن دشوار است. غالباً روشی بسیار آسان تر با عناوینی نظیر «روش جدولی»، «روش مشتق و انتگرال»، «روش جز به جز پی در پی یا مکرر»، «روش هویساید» یا «تیک تاک توی» به دانشجویان آموخته می‌شود. این روش وقتی یکی از توابع ‎u = f(x)‎ یا ‎v = g(x) ‎ چندجمله‌ای باشند، در بهترین شرایطش قرار می‌گیرد، چونکه پس از مشتق گیری‌های پی در پی تابع چندجمله‌ای صفر می‌شود. این روش برای آن دسته از توابع که خود را (پس از چند بار مشتق یا انتگرال گیری) تکرار می‌کنند نیز بسیار کاراست.

برای مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید:

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب) مشتقات پی در پی از u (ستون الف)

حال به سادگی نخستین خانه ستون الف را در دومین خانه ستون ب، دومین خانه ستون الف را در سومین خانه ستون ب، و… ضرب کرده، و سپس علامت این جمله‌ها را با شروع از اولی مثبت، منفی، مثبت، منفی و همین‌طور یکی در میان قرار دهید. توجه شود که علامت جمله اول +، دوم - و… است. در شکل زیر نحوه کار را می‌بینید:

Signing method in Tabular integration by parts

نتیجه به شکل زیر خواهد بود:

با کمی دقت می‌توان روش فوق را برای توابعی که پس از چند بار مشتق یا انتگرال‌گیری خود را تکرار می‌کنند، گسترش داد. به مثال زیر دقت کنید:

انتگرالگیری پی در پی از v (ستون ب) مشتقات پی در پی از u (ستون الف)

به نحوه علامتگذاری در این مثال توجه کنید:

Extended Signing method in Tabular integration by parts

در این مثال در گام آخر لازم است که از جمله آخری (مضرب آخری) انتگرال بگیریم:

با ساده‌سازی انتگرال‌های دو طرف داریم:

در نتیجه حاصل به صورت زیر می‌شود:

[۱]

منابع[ویرایش]

  • Evans, Lawrence C. (1998). Partial Differential Equations. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2. 
  • Arbogast, Todd (۲۰۰۵). Methods of Applied Mathematics (PDF).  Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help); Check date values in: |date= (help)
  • Horowitz, David (1990). "Tabular Integration by Parts". The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368. JSTOR ۲۶۸۶۳۶۸.  Unknown parameter |month= ignored (help)