قضیه گرادیان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
گرادیان
دیورژانس
کرل
عملگر لاپلاس
قضیه گرادیان
قضیه گرین
قضیه استوکس
قضیه دیورژانس

یکی از قضایای مهم در علم حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌باشد که انتگرال خطی در امتداد مسیر یک منحنی را که تابعی از مسیر هست، مستقل از مسیر می کند.این رابطه در الکترو مغناطیس و میدان‌های گرانشی استفاده فراوان دارد.

تعریف[ویرایش]

فرض می‌شود که تابع یک تابع نرده ای باشد.در آن صورت رابطه زیر برقرار است:

که در آن گرادیان تابع بوده و q و p به ترتیب نقاط انتهایی و ابتدایی منحنی L هستند.

تعبیر هندسی[ویرایش]

فرض کنید شما می خواهید ارتفاع برج میلاد را محاسبه کنید. می توانید یک خط کش به دست بگیرید و از پله های برج بالا بروید و ارتفاع هر پله را اندازه گرفته و در انتها این مقادیر را با هم جمع کنید. یا می توانید یک ارتفاع سنج (نسبت به سطح دریاهای آزاد) را برداشته و ارتفاع نوک برج میلاد و پایین آن را محاسبه و این دو مقدار را ازهم کم کنید (طبعا این روش مناسبتر است!). نتیجه هر دو روش یکسان خواهد بود و این همان قضیه گرادیان است. در روش اول شما در واقع انتگرال گرادیان ارتفاع را و در روش دوم اختلاف ارتفاع در انتها و ابتدای مسیر را محاسبه کرده اید [۱].

منابع[ویرایش]

  • [wolfram Mathworld]

جستارهای وابسته[ویرایش]