فاکتوریل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

فاکتوریل (به فرانسوی: Factorielle) هر عدد طبیعی در ریاضیات از حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیح و مثبت (اعداد طبیعی) کوچک‌تر از آن به دست می‌آید. فاکتوریل عددی مانند را می‌نویسند و «اِن فاکتوریل» می‌خوانند. همچنین طبق قرارداد، فاکتوریل صفر همیشه برابر با یک است.[۱]

فاکتوریل برای اولین بار توسط کریستین کرامپ و در سال ۱۸۰۸ معرفی شد.[۲]

۰ ۱
۱ ۱
۲ ۲
۳ ۶
۴ ۲۴
۵ ۱۲۰
۶ ۷۲۰
۷ ۵٬۰۴۰
۸ ۴۰٬۳۲۰
۹ ۳۶۲٬۸۸۰
۱۰ ۳٬۶۲۸٬۸۰۰
۱۱ ۳۹٬۹۱۶٬۸۰۰
۱۲ ۴۷۹٬۰۰۱٬۶۰۰
۱۳ ۶٬۲۲۷٬۰۲۰٬۸۰۰
۱۴ ۸۷٬۱۷۸٬۲۹۱٬۲۰۰
۱۵ ۱٬۳۰۷٬۶۷۴٬۳۶۸٬۰۰۰
۲۰ ۲٬۴۳۲٬۹۰۲٬۰۰۸٬۱۷۶٬۶۴۰٬۰۰۰
۲۵ ۱۵٬۵۱۱٬۲۱۰٬۰۴۳٬۳۳۰٬۹۸۵٬۹۸۴٬۰۰۰٬۰۰۰

تعریف[ویرایش]

تابع فاکتوریل به صورت زیر تعریف شده:

این تابع به وسیله توابع بازگشتی بصورت زیر تعریف می‌شود:

مثال



هر چند توضیحات فوق در رابطه با فاکتوریل کاملاً صحیح است اما نمی‌تواند توضیح دهد که چرا فاکتوریل صفر برابر با یک است؛ و یا اینکه آیا اعداد اعشاری یا منفی هم فاکتوریل دارند یا خیر؟ در واقع فاکتوریل تعریف جامع‌تری دارد.

فاکتوریل صفر[ویرایش]

برای تعریف پذیر بودن تابع بازگشتی فاکتوریل، قرارداد می‌شود که فاکتوریل ۰ برابر با ۱ باشد.

بر اساس این تعریف خواهیم داشت:

فاکتوریل اعداد غیرطبیعی[ویرایش]

برای محاسبه فاکتوریل بر روی اعداد غیرطبیعی از معادل ریاضیاتی فاکتوریل استفاده می‌کنیم؛ بنابراین ابر اساس تعریف تابع گاما می‌توانیم بصورت بنویسیم. در بخش بعد در ارتباط با این تابع بحض شده‌است.

تعریف اصلی فاکتوریل[ویرایش]

نمودار تابع فاکتوریل؛ همان‌طور که می‌بینید تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی دارای فاکتوریل هستند.

در سطحی بالاتر تعریفی که برای فاکتوریل ارائه شده و می‌توان با استفاده از آن فاکتوریل را برای تمام اعداد به جز اعداد صحیح منفی محاسبه کرد. با استفاده از تعریف تابع گاما خواهیم داشت:

[۳]

با این تعریف از فاکتوریل علاوه‌بر اعداد طبیعی، می‌توان فاکتوریل را برای تمام اعداد به دست آورد. نکته دیگر در مورد اعداد صحیح منفی است که مقدار فاکتوریل برای آنها به سمت بی‌نهایت میل می‌کند. محاسبه فاکتوریل به این طریق بسیار دشوار بوده و نیاز به دانش ریاضیاتی بالایی دارد اما کاربردهای بسیاری در علوم مختلف از جمله فیزیک دارد.

جالب است بدانید که :

چند رابطه دربارهٔ فاکتوریل[ویرایش]

فاکتوریل زیر پیوند کلیات توابع بشمار می‌آید که برحسب جز؛ چیدمان از نواحی زیرین توابع موضوع می‌گیرد

پانویس[ویرایش]

  1. ریاضیات دوم دبیرستان
  2. Wikipedia contributors, "Factorial," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Factorial&oldid=275291690 (accessed March 6, 2009).
  3. Gamma function

منابع[ویرایش]