قضیه تیلور

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

چند جمله‌ای تیلور مقدار تقریبی یک تابع مشتق‌پذیر را در همسایگی یک نقطه به دست می‌آورد. ضرایب این چند جمله‌ای را مشتق‌های این تابع در نقطه مذکور تشکیل می‌دهند. این نظریه به نام ریاضیدان بروک تیلور نامیده شده‌است.

قضیه تیلور نخستین بار توسط تیلور در سال1712مطرح گردید. با این حال، بیان صریح و روشن از خطا بسیار بعد ها توسط ژوزف لویی لاگرانژ ارائه شد.بیان جدید این نظریه در سال 1671 توسط جیمز گرگوری اشاره شده است. قضیه تیلور در دوره سطح مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال آموزش داده شده است و از آن است که یکی از ابزار ابتدایی و اصلی در آنالیز ریاضی است. تعمیم قضیه تیلوردر هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می شود.

تابع توانی y=e^x (خط قرمز ممتد) و چند جمله‌ای تیلور متناظر آن از درجه ۴ حول مبدأ (خط‌چین سبز).

بیان قضیه[ویرایش]

گر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد و آنگاهf دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است کهh1وجود دارد:

 f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + h_1(x)(x-a), \qquad \lim_{x\to a}h_1(x)=0.

که:

P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) \

میزان تقریب خطا:

R_1(x) = f(x)-P_1(x) = h_1(x)(x-a). \

که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از چندجمله ای درجه دوم:

P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2}(x-a)^2. \,

که میزان تقریب خطا:

R_2(x) = f(x)-P_2(x) = h_2(x)(x-a)^2 \

به همین ترتیب اگر از چند جمله ایهای درجه بالاتر استفاده کنیم بیشتر به نقطه a نزدیک میشویم.

قضیه تیلور در یک نقطه حقیقی[ویرایش]

تابع زیر یک تابع از درجه k از چند جمله ای تیلور در نقطه a است:

P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

در این صورت fوجود دارد:

 f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a}h_k(x)=0,

در این صورت برخورد مجانبی تابع خطادر نقطه a:

 \ R_k(x) = f(x) - P_k(x),

برای عددی در این فاصله باز است.

فرمول مستقیم برای بدست آوردن میزان خطا[ویرایش]

اگر (G(t d یک تابع پیوسته در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:

 R_k(x) = \frac{f^{(k+1)}(\xi_L)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1}

تخمین تابع خطا[ویرایش]

بسیاری اوقات تخمین تابع خطا مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است.فرض کنیدf یک تابع k+1 بار در بازهI شامل نقطهa مشتق پذیر است.حال فرض کنید مقادیر حقیقی qو Q وجود داشته باشند که:

q\le f^{(k+1)}(x)\le Q

آنگاه تابع خطا در نامساوی:

q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(x-a)^{k+1}}{(k+1)!},

قضیه تیلور برای توابع یک متغیره[ویرایش]

قضیه تیلور مرتبه اول[ویرایش]

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی بهRباشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U مشتق پذیر باشد,میتوان نوشت:

 f(x+h) =f(x)+ \sum_{i=1}^{n} \frac{df(x)}{dx_i}(h_i)+R_1(h,x)

قضیه تیلور مرتبه دوم[ویرایش]

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی بهRباشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U دارای مشتقات پیوسته تا مرتبه سوم باشد,میتوان نوشت:

f(x+h)=f(x)+ \sum_{i=1}^{n}\frac{df(x+th)}{dx_i}(h_i)+1/2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{df^{2}(x+th)}{dx_idx_j}+R_2(h,x).

منابع[ویرایش]

  • E.Marsden,‎Jerrold ). Tromba,‎Anthony. amazon, 2003. ISBN 978-0-7167-4992-9. 
  • ویکی‌پدیا انگلیسی