قضیه تیلور

چندجمله‌ای تیلور مقدار تقریبی یک تابع مشتق‌پذیر را در همسایگی یک نقطه به دست می‌آورد. ضرایب این چندجمله‌ای را مشتق‌های این تابع در نقطه مذکور تشکیل می‌دهند. این نظریه به نام ریاضیدان بروک تیلور نامیده شده‌است.

قضیه تیلور نخستین بار توسط تیلور در سال ۱۷۱۲ مطرح گردید. با این حال، بیان صریح و روشن از خطا بسیار بعدها توسط ژوزف لویی لاگرانژ ارائه شد. بیان جدید این نظریه در سال ۱۶۷۱ توسط جیمز گرگوری اشاره شده است. قضیه تیلور در دوره سطح مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال آموزش داده شده است و از آن است که یکی از ابزار ابتدایی و اصلی در آنالیز ریاضی است. تعمیم قضیه تیلور در هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می‌شود.

تابع توانی $y=e^{x}$ (خط قرمز ممتد) و چندجمله‌ای تیلور متناظر آن از درجه ۴ حول مبدأ (خط‌چین سبز).

بیان قضیه

اگر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد و آنگاه f دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است که h1 وجود دارد:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\qquad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.$

که:

$P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\$

میزان تقریب خطا:

$R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).\$

که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از چندجمله‌ای درجه دوم:

$P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.\,$

که میزان تقریب خطا:

$R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2}\$

به همین ترتیب اگر از چندجمله‌ایهای درجه بالاتر استفاده کنیم بیشتر به نقطه a نزدیک می‌شویم.

قضیه تیلور در یک نقطه حقیقی

تابع زیر یک تابع از درجه k از چندجمله‌ای تیلور در نقطه a است:

$P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$

در این صورت fوجود دارد:

$f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,$

در این صورت برخورد مجانبی تابع خطا در نقطه a:

$\ R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),$

برای عددی در این فاصله باز است.

فرمول مستقیم برای بدست آوردن میزان خطا

اگر (G(t d یک تابع پیوسته در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:

$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}$

تخمین تابع خطا

بسیاری اوقات تخمین تابع خطا مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است. فرض کنید f یک تابع k+1 بار در بازه I شامل نقطه a مشتق پذیر است. حال فرض کنید مقادیر حقیقی q و Q وجود داشته باشند که:

$q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q$

آنگاه تابع خطا در نامساوی:

$q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},$

قضیه تیلور مرتبه اول

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U مشتق پذیر باشد، میتوان نوشت:

$f(x+h)=f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {df(x)}{dx_{i}}}(h_{i})+R_{1}(h,x)$

قضیه تیلور مرتبه دوم

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U دارای مشتقات پیوسته تا مرتبه سوم باشد، میتوان نوشت:

$f(x+h)=f(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {df(x+th)}{dx_{i}}}(h_{i})+1/2\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {df^{2}(x+th)}{dx_{i}dx_{j}}}+R_{2}(h,x).$

منابع

• Apostol, ‎Tom (1967), Calculus (in English), Jon Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-00005-1{{یادکرد}}: نگهداری یادکرد:نام‌های عددی:فهرست نویسندگان (رده) نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (رده)

• E.Marsden,‎Jerrold) (2003), (in English), amazon, ISBN 978-0-7167-4992-9 {{یادکرد}}: از متن "کتابVector Calculus" صرف نظر شد (کمک); پارامتر |عنوان= یا |title= ناموجود یا خالی (کمک)نگهداری یادکرد:نام‌های عددی:فهرست نویسندگان (رده) نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (رده)
• ویکی‌پدیا انگلیسی