انتگرال ریمان–استیلتیس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، انتگرال ریمان–استیلتیِس تعمیمی از انتگرال ریمان است. نام این روش انتگرال‌گیری از دو ریاضی‌دان آلمانی، برنهارت ریمان و توماس یوهانس استیلتیس گرفته شده است. تعمیم استیلتیس از انتگرال ریمان در مقاله طولانی او در مورد کسرهای مسلسل (تدوین شده در سال ۱۸۹۴ میلادی) پنهان شده بود. اهمیت مقاله او پانزده سال بعد، زمانی که فریش ریس در قضیه نمایش خود آن را به کار برد، آشکار شد.[۱]

در اوایل قرن بیستم میلادی تعمیم‌های دیگری از انتگرال ارائه گردید که معروف‌ترین و کاراترین آن‌ها انتگرال لبگ است.

تعریف و وجود انتگرال ریمان–استیلتیس[ویرایش]

  • تعریف افراز: فرض کنید [a,b] بازهٔ بسته‌ای باشد. مجموعهٔ {P={a=x۰,x۱,x۲,...,xn-۱,xn=b را یک افراز می‌نامند مشروط بر اینکه a=x۰ < x۱ < x۲ < ... < xn-۱ < xn=b.
  • تعریف مجموع‌های بالایی و پایینی: فرض کنید تابع f بر [a,b] حقیقی و کراندار و تابع \alpha بر [a,b] صعودی و P افراز دلخواهی از [a,b] باشد. در این صورت می‌نویسیم:

\Delta\alpha_i=\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})

واضح است که \Delta\alpha_i\ge0.

مجموع‌های بالایی و پایینی را به ترتیب با U(P,f,\alpha) و L(P,f,\alpha) نشان می‌دهیم و به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

U(P,f,\alpha)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta\alpha_i

L(P,f,\alpha)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta\alpha_i

که در آن‌ها اعداد Mi و mi به صورت زیر تعریف می‌شوند:

M_i=M_i(f)=sup\{f(x)|x_{i-1}\le x\le x_i\}

m_i=m_i(f)=inf\{f(x)|x_{i-1}\le x\le x_i\}

  • انتگرال‌های بالایی و پایینی: با مفروضات بالا، انتگرال‌های بالایی و پایینی را به ترتیب به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\int_{a}^{-_b} f\, d\alpha=\inf_{P} U(P,f,\alpha)

\int_{-_a}^{b} f\, d\alpha=\sup_{P} L(P,f,\alpha)

هرگاه دو انتگرال بالا با هم برابر باشند در آن صورت گوییم f نسبت به \alpha بر [a,b] انتگرال‌پذیر ریمان–استیلتیس است و می‌نویسیم f\in R(\alpha) بر [a,b].

در تعریف بالا هرگاه \alpha(x)=x، انتگرال ریمان حالت خاصی از انتگرال ریمان–استیلتیس می‌شود.[۲]

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]