دیورژانس

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
گرادیان
دیورژانس
کرل
عملگر لاپلاس
قضیه گرادیان
قضیه گرین
قضیه استوکس
قضیه دیورژانس

دیورژانس (به فرانسوی: Divergence) یا واگرایی، حاصلضرب داخلی عملگر مشتق  \nabla با یک بردار است. در حالت کلی دیورژانس از دستگاه m بعدی به ۱ بعدی روی یک نگاشت از دستگاه n بعدی به m بعدی عمل می‌کند.

تعریف[ویرایش]

اگر x و y و z سه مختصه دستگاه مختصات دکارتی باشند، دیورژانس بردار ‎ F(x,y,z) = Fx i + Fy j + Fz k ‏ در مختصات دکارتی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}.

که در آن ‎ Fx , Fy , Fz ‏ مولفه‌های بردار F در راستای x , y, z است.

به طور کلی در مختصات مایل داریم:

\nabla\cdot\mathbf{F}={{1} \over {h_1h_2h_3}}[\frac{\partial}{\partial q_1}(F_1h_2h_3)+\frac{\partial}{\partial q_2}(F_2h_3h_1)+\frac{\partial}{\partial q_3}(F_3h_1h_2)]

که h i عامل مقیاس و q i مختص در دستگاه مورد نظر است. برای سه دستگاه پرکاربرد زیر داریم:

دستگاه دکارتی:

q_1=x , q_2=y , q_3=z

h_ 1=h_2=h_3=1

دستگاه استوانه‌ای:

q_1=\rho , q_2=\varphi , q_3=z

h_1=1 , h_2=\rho , h_3=1

\nabla\cdot\mathbf{F}={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\partial \rho}}(\rho F_\rho)+\frac{1}{\rho}{\frac{\partial F_\varphi}{\partial \varphi}}+\frac{\partial F_z}{\partial z}

دستگاه کروی:

q_1=r , q_2=\theta , q_3=\varphi

h_1=1 , h_2=r , h_3=r \sin \theta

تعبیر فیزیکی و هندسی[ویرایش]

دیورژانس یک اپراتور برداری است که میزان «شار خروجی» یا «جذب از محیط» یک میدان برداری را در یک نقطه بوسیله یک اسکالر علامت دار اندازه‌گیری می‌کند. به عبارت تخصصی‌تر، دیورژانس نشان‌دهنده چگالی حجمی شار خروجی از (یا ورودی به) یک حجم بسیار کوچک می‌باشد. به عنوان مثال در گرم و سرد شدن هوا، میدان برداری مرتبط، سرعت حرکت هوادر یک نقطه است: اگر هوا در یک ناحیه گرم شود، در همه جهت‌ها منبسط می‌شود بطوری‌که جهت میدان سرعت به سمت بیرون آن ناحیه می‌باشد؛ بنابراین دیورژانس میدان سرعت در آن ناحیه دارای مقداری مثبت بوده و بیانگر منبع بودن آن ناحیه می‌باشد. اگر هوا سرد شود دیورژانس منفی بوده و آن منطقه را یک جاذب یا حفره (سینک) می‌گویند.

نام «دیورژانس» یا «واگرایی» به خوبی انتخاب شده است، زیرا دیورژانس یک میدان برداری در یک نقطه معیاری از این که آن میدان برداری از آن نقطه به چه میزان به بیرون پخش و واگرا می‌شود. برای مثال سرعت قطرات آب را یک میدان برداری در نظر بگیرید، در این صورت یک فواره در محلی که آب از آن بیرون می‌زند واگرایی و پخش شدگی زیادی دارد پس دیورژانس آن مفدار قابل توجهی دارد. در حالیکه آبی که در یک کانال مستقیم حرکت می‌کند هیچ واگرایی و پخش شدگی ندارد، بنابراین دیورژانس آن صفر است.[۱]

برخی ویژگی‌ها[ویرایش]

اگر f اسکالر و v بردار باشد آنگاه:

\nabla \cdot (f \vec v) = f \nabla \cdot \vec v + \vec v \cdot \nabla f

و اگر \vec u و \vec v دو تابع برداری باشند:

\nabla \cdot (\vec u \times \vec v) = \vec v \cdot \nabla \times \vec u - \vec u \cdot \nabla \times \vec v

کاربرد[ویرایش]

در مسائل مختلف فیزیک از چگالی جریان احتمال در مکانیک کوانتومی تا معادله پخش نوترون در رآکتور هسته‌ای ظاهر می‌شود.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • سید محمد طاهری اتاقسرا
  • پویا زرمهرزمین
  • جورج براون آرفکن. روشهای ریاضی در فیزیک. ترجمهٔ اعظم پورقاضی. مرکز نشر دانشگاهی. شابک ‎&#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲.