گرادیان

در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی: Gradient) یا شیو یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مولفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می‌کنیم.

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)$

در حالت خاص برای اسکالر ‎$f(x,y,z)$‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f$

بازگویی فیزیکی

$\nabla \phi$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی $\phi$ و همواره بر سطح $\phi =cte$ عمود است؛ مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه ویژانش گوناگون

در دستگاه ویژانش دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

$\nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

و در دستگاه ویژانش استوانه‌ای:

$\nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

و در دستگاه ویژانش گویالی عبارت است از:

$\nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}$

برخی ویژگی‌ها

اگر $f$ و $g$ دو اسکالر باشند، آنگاه گرادیان $fg$ برابر است با:

$\nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f$

و اگر ${\vec {u}}$ و ${\vec {v}}$ دو تابع برداری باشند، گرادیان ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$

$\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})$

همانند

گرادیان $f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)$ برابر است با:

$\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}$

جستارهای وابسته

• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• دیورژانس
• کرل
• لاپلاسین
• تقویت گرادیان

سرچشمگان

• جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲