قاعده زنجیره‌ای

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای رابطه‌ای برای یافتن مشتق ترکیب دو تابع است.

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام باشد، و نیز خود تابع متغیر سوم باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر نسبت به برابر است با آهنگ تغییر نسبت به ضرب در آهنگ تغییر نسبت به . به زبان ریاضی:

اثبات[ویرایش]

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها[ویرایش]

برای اثبات قاعده‌ی زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا و را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک ، و بصورت متقابل، را محاسبه می‌کنیم. داریم:

و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطه‌ی پایین، یعنی همان قاعده‌ی زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.

مثال‌ها[ویرایش]

اگر تابع ‎ در نقطه و تابع در ‎ مشتق پذیر باشند آنگاه تابع نیز در مشتق پذیر است و داریم:

مثلاً اگر که در آن باشد مشتق تابع در نقاط مشتق پذیر برابر است با:

منابع[ویرایش]

  • کتاب انتگرال و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی (ریاضی-فیزیک) ISBN 964-05-0277-4

جستارهای وابسته[ویرایش]