بیشینه و کمینه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
Extrema example original fa.svg

بیشینه (ماکسیمم) و کمینه (مینیمم) تابع در یک بازه، به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع در آن بازه گفته می‌شود. در اصطلاح به بیشینه و همین‌طور کمینه، نقاط فَرینه (اکسترمم) تابع گفته می‌شود. بیشینه و کمینه، هر یک به دو دسته تقسیم می‌شوند.

کمینه[ویرایش]

در ریاضیات به کوچکترین مقدار یک تابع در یک محدوده کمینه گفته می‌شود. همچنین کمینه ممکن است به کوچکترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

کمینه نسبی یا موضعی[ویرایش]

به ازای تابع و عدد ، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از داشته باشیم . در این صورت در کمینه نسبی دارد.

کمینه مطلق[ویرایش]

بیشینه[ویرایش]

در ریاضیات به بزرگ‌ترین مقدار یک تابع در یک محدوده بیشینه گفته می‌شود. همچنین بیشینه ممکن است به بزرگ‌ترین عضو یک مجموعه از اعداد اطلاق شود.

بیشینه نسبی یا موضعی[ویرایش]

به ازای تابع و عدد ، فرض می‌کنیم به ازای هر همسایگی از داشته باشیم . در این صورت در بیشینه نسبی دارد.

بیشینه مطلق[ویرایش]

قضیه فرینه[ویرایش]

اگر تابع f روی فاصله [a,b] پیوسته باشد، آنگاه f روی [a,b] دارای یک مقدار بیشینه مطلق و یک مقدار کمینه مطلق است.

همان‌طور که از صورت قضیه فرینه (قضیه اکسترمم) ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود بیشینه مطلق و کمینه مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصله [a,b] است؛ ولی با این وجود این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد، ولی دارای بیشینه و کمینه مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، بیشینه و کمینه مطلق ندارد. اما اگر تابعی در فاصله بسته‌ای پیوسته باشد، آنگاه حتماً دارای بیشینه و کمینه مطلق است.[۱]

منابع[ویرایش]

  • سیلورمن (۱۳۸۲حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲
  1. حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲، شابک ‎۹۶۴-۸۰۲۰-۴۷-۷

جستارهای وابسته[ویرایش]

عملیات دوتایی
عددی تابعی مجموعه‌ای ساختاری
مقدماتی

+ جمع
تفریق
× ضرب
÷ تقسیم
^ توان

حسابی

div خارج قسمت اقلیدسی
mod باقیمانده اقلیدسی
بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک
کوچک‌ترین مضرب مشترک

ترکیباتی

() ضریب دوجمله‌ای
P جایگشت
C ترکیب

ترکیب
کانولوشن
جبر مجموعه‌ها

اجتماع
\ مجموعه مکمل
اشتراک
Δ تفاضل متقارن

ترتیب کلی

min کمینه
max بیشینه

توری‌ها

کرانه تحتانی
کرانه فوقانی

مجموعه‌ها

× ضرب دکارتی
اجتماع منفصل
^ توان مجموعه‌ای

گروه‌ها

حاصل‌جمع مستقیم
حاصل‌ضرب آزاد
produit en couronne

مدول‌ها

ضرب تانسوری
Hom هومومورفیزم
Tor پیچش
Ext extensions

درخت‌ها

enracinement

واریته‌های متصل

# جمع متصل

فضاهای نقطه‌دار

bouquet
smash produit
joint

بُرداری
(.) ضرب اسکالر
ضرب برداری
جبری
[,] کروشه لی
{,} کروشه پواسون
ضرب خارجی
هومولوژی
cup-produit
حاصل‌ضرب اشتراک
ترتیبی
+ الحاق
منطق بولی
عطف منطقی فصل منطقی یای انحصاری استلزام منطقی اگر و فقط اگر