سری (ریاضیات)

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، یک سری اغلب به عنوان مجموع یک دنباله از گزاره‌ها معرفی می‌شود. به عبارت دیگر یک سری به عنوان لیستی از اعداد با عملگر جمع میان‌شان تعریف می‌گردد. برای مثال این تصاعد حسابی:

‎:۱ + ۲ + ۳ + ۴ + ۵ + ... + ۹۹ + ۱۰۰‎ در بیش‌تر موارد، جمله‌های دنباله بر پایهٔ یک قاعدهٔ خاص تولید می‌شوند هم‌چون به وسیلهٔ یک فرمول یا یک الگوریتم یا یک دنباله از اندازه‌گیری‌ها یا حتی از طریق یک تولیدکنندهٔ عدد تصادفی.

انواع سری‌ها[ویرایش]

یک سری می‌تواند متناهی یا نامتناهی باشد. سری‌های متناهی را می‌توان با جبر مقدماتی بررسی کرد اما سری‌های نامتناهی ممکن است نیازمند استفاده از آنالیز ریاضی باشند.

مثال‌های سری‌های ساده شامل سری‌های حسابی که مجموع یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

\sum_{n=0}^k (an+b);

و سری‌های هندسی، مجموع یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:

\sum_{k=0}^\infty ar^{k}=a+ar+ar^2+ar^3+...+ar^k+...
(a \neq 0)

به یک سری هندسی همگرا گفته می‌شود اگر :(|r|<1) و واگرا اگر :|r| \geq 1. مجموع یک سری هندسی همگرا را می‌توان با استفاده از فرمول زیر بدست آورد:

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r}

سری‌های متناهی[ویرایش]

مجموع یک سری متناهی ‎a0 + a1 + a2 + …‎ حد دنبالهٔ مجموع جزئی سری

S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n,

با میل n به بی‌نهایت است، اگر این حد موجود باشد. اگر این حد موجود و برابر یک عدد حقیقی باشد، به سری همگرا گفته می‌شود، و اگر این حد موجود نباشد یا برابر بی‌نهایت باشد، سری واگرا نامیده می‌شود.

سری‌های توانی[ویرایش]

هر سری به صورت \sum_{n=0}^\infty a_n x^n را یک سری توانی به مرکز 0، و اگر c عددی حقیقی باشد، سری \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n را یک سری توانی به مرکز c می‌نامیم.

توجه کنید که با جایگزینی هر مقدار مختلط به جای x در عبارت بالا یک سری عددی به دست می‌آید که ممکن است همگرا یا واگرا باشد. وقتی a و a_iها همه حقیقی باشند، یک سری توانی حقیقی داریم.

شعاع همگرایی[ویرایش]

فاصله همگرایی یک سری توانی، فاصله‌ای واقع بین نقاط r- و r+ است بطوری که به ازای نقاط x درون این فاصله سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط x بیرون آن واگراست. عدد r را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

ویژگیهای سری توانی[ویرایش]

1) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر x = X_1 همگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که |X_1|>|x| همگرای مطلق است.

2) اگر سری توانی به ازای عدد ناصفر x = X_1 واگرا باشد، آنگاه به ازای هر مقدار x که |X_1|<|x| واگراست.

3) اگر \sum_{n=0}^\infty a_n x^n یک سری توانی باشد، آنگاه دقیقاً یکی از حالتهای زیر رخ می دهد:

الف) این سری تنها به ازای x=0 همگراست.

ب) این سری به ازای هر مقدار x همگرای مطلق است.

ج) عدد مثبت r وجود دارد به طوری که سری فوق همگرای مطلق است اگر  |x| <r و واگراست اگر |x|> r .

قضیه مشتق‌گیری سری‌های توانی[ویرایش]

اگر \sum_{i=0}^n a_i x^i یک سری توانی با شعاع همگرایی r> 0 باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری \sum_{i=1}^{n}  i a_i x^{i-1} که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده است، برابر با r است اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی \sum_{i=0}^n a_i x^i با شعاع همگرایی ناصفر، وجود دارد ولی، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دوبار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند، نتیجه می‌گیریم که همه مشتقهای یک سری توانی با شعاع همگرایی |r| \geq 0 در بازه (r , + r -) وجود دارند. با این توضیحات به ذکر یک قضیه می‌پردازیم.

قضیه

اگر سری توانی در فاصله (r , + r -) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتقهای تا مرتبه n ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلاً مشتق مرتبه n ام مجموع سری، برابر مجموع یک سری است که به n بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض حاصل می‌گردد. علاوه بر این، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری، همان فاصله همگرایی سری مفروض، یعنی (r , + r -) است.

قضیه انتگرال‌گیری سری‌های توانی[ویرایش]

اگر شعاع همگرایی سری توانی \sum_{i=0}^\infty a_i x^i برابر با r > 0 باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری \sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{i + 1} x^i + 1، حاصل از انتگرال‌گیری جمله به جمله از سری داده شده، برابر با r است.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

Wikipedia contributors, "Series (mathematics)," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Series_(mathematics)&oldid=247761672 (accessed November 2, 2008).

http://en.wikipedia.org/wiki/Power_series