آنالیز مختلط

نمایش تابع f(x)=(x²-1)(x-2-i)²/(x²+2+2i). در این تصویر رنگ آرگومان تابع را نشان می‌دهد و شدت رنگ بیانگر اندازه است.

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.

مفاهیم و قضیه‌های اساسی

تابع مختلط

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف

$f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\;x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$$f\colon \,\mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\;x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).$

از آنجا که $\mathbb {C}$$\mathbb{C}$ با $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb {R} ^{2}$ هم‌ارز است، گاهی تعریف $f\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$$f\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ نیز بکار برده میشود.

مشتق‌پذیری

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه $z_{0}$$z_{0}$ وجود داشته باشد. در اینجا مسلما $z$$z$ یک مقدار مختلط است.

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. $f(z)=u(z)+iv(z),\quad z=x+iy$$f(z)=u(z)+iv(z),\quad z=x+iy$:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\quad ,\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\quad ,\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

فرمول کوشی

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(z')}{z'-z}}dz'$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(z')}{z'-z}}dz'$

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

قضیه مانده‌ها

(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.

بسط دادن

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

منابع

• Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
• Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Konrad Königsberger, Analysis, Bd. 1, 6. Edition. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.