آنالیز مختلط

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتقپذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.
محتویات
مفاهیم و قضیههای اساسی[ویرایش]
تابع مختلط[ویرایش]
تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف
از آنجا که با همارز است، گاهی تعریف نیز بکار برده میشود.
مشتقپذیری[ویرایش]
به تابعی که مختلط مشتقپذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته میشود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه وجود داشته باشد. در اینجا مسلما یک مقدار مختلط است.
تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست میآید. :
فرمول کوشی[ویرایش]
فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:
در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام میپذیرد که تابع در آن مشتقپذیر است.
قضیه ماندهها[ویرایش]
(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.
بسط دادن[ویرایش]
بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکانپذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز میتوان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.
منابع[ویرایش]
- Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
- Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
- Konrad Königsberger, Analysis, Bd. 1, 6. Edition. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.