آنالیز مختلط

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نمایش تابع f(x)=(x2-1)(x-2-i)2/(x2+2+2i). در این تصویر رنگ آرگومان تابع را نشان می‌دهد و شدت رنگ بیانگر اندازه است.

آنالیز مختلط یا نظریه توابع، نام مبحثی در ریاضیات است که در آن به توابع مشتق‌پذیر با مقادیر مختلط پرداخته میشود.

مفاهیم و قضیه‌های اساسی[ویرایش]

تابع مختلط[ویرایش]

تابعی است که هم دامنه تعریف آن و هم مقدار آن هردو مختلط باشند. به این ترتیب، یک تابع مختلط، تابعی است با تعریف

از آنجا که با هم‌ارز است، گاهی تعریف نیز بکار برده میشود.

مشتق‌پذیری[ویرایش]

به تابعی که مختلط مشتق‌پذیر باشد، تابع تحلیلی یا تابع تمامریخت گفته می‌شود و آن زمانی است که حد زیر در دایره بازی، در اطراف نقطه وجود داشته باشد. در اینجا مسلما یک مقدار مختلط است.

تعریف بالا، هم ارز است با شرایط کوشی-ریمان که به راحتی از آن به دست می‌آید. :

فرمول کوشی[ویرایش]

فرمول انتگرال کوشی یا به طور بهتر قضیه کوشی، برای هر تابعی که بر روی محیط خاصی تحلیلی باشد، صادق است:

در اینجا، انتگرال مسیری، بر روی محیطی انجام می‌پذیرد که تابع در آن مشتق‌پذیر است.

قضیه مانده‌ها[ویرایش]

(انگلیسی: Residue theorem) به مقاله اصلی مراجعه شود.

بسط دادن[ویرایش]

بر خلاف، توابع حقیقی، بسط تیلور برای توابع تحلیلی، همیشه امکان‌پذیر است. از این گذشته، در شرایط خاصی نیز می‌توان از بسط لورنتس در این تئوری استفاده کرد.

منابع[ویرایش]

  • Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
  • Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
  • Konrad Königsberger, Analysis, Bd. 1, 6. Edition. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.