فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی

مثلثات
History Usage توابع Generalized تابع‌های وارون مثلثاتی Further reading
منابع
فهرست اتحادهای مثلثاتی Exact constants Trigonometric tables
قوانین و قضایا
قانون سینوس‌ها قانون کسینوس‌ها قانون تانژانت‌ها Law of cotangents قضیه فیثاغورس
حساب دیفرانسیل و انتگرال
جانشینی مثلثاتی انتگرال توابع مثلثاتی Derivatives of functions انتگرال توابع وارون مثلثاتی

در ادامه فهرستی از انتگرال نامعین توابع وارون مثلثاتی نوشته شده‌است، برای دیدن فهرست کامل صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

هشدار:

• C همان ثابت انتگرال‌گیری است که تنها زمانی مقدار دقیق آن معلوم می‌شود که داده‌ای از مقدار نهایی انتگرال در دسترس باشد؛ در غیر این صورت ثابت انتگرال‌گیری هر عددی می‌تواند باشد.
• برای هر رابطهٔ نوشته شده برای توابع وارون مثلثاتی، می‌توان رابطهٔ مشابهی در میان انتگرال توابع وارون هذلولی پیدا کرد.

تابع وارون سینوس یا Arcsine

$\int\arcsin(a\,x)\,dx= x\arcsin(a\,x)+ \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}}{a}+C$

$\int x\arcsin(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arcsin(a\,x)}{2}- \frac{\arcsin(a\,x)}{4\,a^2}+ \frac{x\sqrt{1-a^2\,x^2}}{4\,a}+C$

$\int x^2\arcsin(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arcsin(a\,x)}{3}+ \frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{1-a^2\,x^2}}{9\,a^3}+C$

$\int x^m\arcsin(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2\,x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)$

$\int\arcsin(a\,x)^2\,dx= -2\,x+x\arcsin(a\,x)^2+ \frac{2\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)}{a}+C$

$\int\arcsin(a\,x)^n\,dx= x\arcsin(a\,x)^n\,+\, \frac{n\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int\arcsin(a\,x)^n\,dx= \frac{x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)$

تابع وارون کسینوس یا Arccosine

$\int\arccos(a\,x)\,dx= x\arccos(a\,x)- \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}}{a}+C$

$\int x\arccos(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arccos(a\,x)}{2}- \frac{\arccos(a\,x)}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2\,x^2}}{4\,a}+C$

$\int x^2\arccos(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arccos(a\,x)}{3}- \frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{1-a^2\,x^2}}{9\,a^3}+C$

$\int x^m\arccos(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2\,x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)$

$\int\arccos(a\,x)^2\,dx= -2\,x+x\arccos(a\,x)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)}{a}+C$

$\int\arccos(a\,x)^n\,dx= x\arccos(a\,x)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arccos(a\,x)^{n-2}\,dx$

$\int\arccos(a\,x)^n\,dx= \frac{x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)$

تابع وارون تانژانت یا Arctangent

$\int\arctan(a\,x)\,dx= x\arctan(a\,x)- \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{2\,a}+C$

$\int x\arctan(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arctan(a\,x)}{2}+ \frac{\arctan(a\,x)}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C$

$\int x^2\arctan(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arctan(a\,x)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C$

$\int x^m\arctan(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)$

تابع وارون کتانژانت یا Arccotangent

$\int\arccot(a\,x)\,dx= x\arccot(a\,x)+ \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{2\,a}+C$

$\int x\arccot(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arccot(a\,x)}{2}+ \frac{\arccot(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C$

$\int x^2\arccot(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arccot(a\,x)}{3}- \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C$

$\int x^m\arccot(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot(a\,x)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)$

تابع وارون سکانت یا Arcsecant

$\int\arcsec(a\,x)\,dx= x\arcsec(a\,x)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C$

$\int x\arcsec(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arcsec(a\,x)}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C$

$\int x^2\arcsec(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arcsec(a\,x)}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\,C$

$\int x^m\arcsec(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsec(a\,x)}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)$

تابع وارون کسکانت یا Arccosecant

$\int\arccsc(a\,x)\,dx= x\arccsc(a\,x)+ \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C$

$\int x\arccsc(a\,x)\,dx= \frac{x^2\arccsc(a\,x)}{2}+ \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C$

$\int x^2\arccsc(a\,x)\,dx= \frac{x^3\arccsc(a\,x)}{3}\,+\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\,C$

$\int x^m\arccsc(a\,x)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccsc(a\,x)}{m+1}\,+\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of integrals of inverse trigonometric functions»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱ سپتامبر ۲۰۱۱).