آنالیز هارمونیک

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به ناوبری پرش به جستجو
هماهنگ های نور
هماهنگ (هارمونی) های رنگ ها. این نمودار آنالیز-هارمونیکی نشان می دهد که چگونه طول موج های مختلف با نور قرمز برهمکنش می کنند. نور قرمز با اختلاف با هماهنگ دوم خود در ماوراء بنفش کاملاً هماهنگ است. تمام طول موج های دیگر در طیف مرئی اختلافی کمتر از با هم دیگر داشته و تشکیل نوسان های هماهنگ در امواج ترکیب شده می کنند. در ، چرخه نوسانات در موج چهاردهم رخ می دهد در حالی که در نوسانات در هر 8 موج چرخش می کنند. نوسانات در سریع ترین حالت خود را داشته که در هر 4 موچ چرخش می کنند، در حالی که در نوسانات در هر 7 موج و در در هر 13 موج نوسان می کنند. بخش پایینی نشان می دهد که چگونه هماهنگ با نور مرئی (سبز و قرمز) برهمکنش می کند (مثل اتفاقی که در تصویربرداری از یک تخت نوری بوجود می آید).

آنالیز هارمونیک شاخه ای از ریاضیات است که مرتبط با نمایش توابع یا سیگنال ها به صورت برآیندی از امواج پایه بوده و به مطالعه و نمایش مفاهیم سری های فوری و تبدیل فوریه (یعنی فرم توسعه یافته ی آنالیز فوریه) می پردازد. در دو قرن اخیر، این شاخه به شاخه ای وسیع تبدیل شده که کاربرد های گسترده ای در نظریه اعداد، نظریه نمایش، پردازش سیگنال، مکانیک کوانتومی، آنالیز جزر و مدی و علوم اعصاب دارد.

عبارت "هماهنگ ها" (به انگلیسی harmonics) از ریشه یونانی harmonikos به معنای "ماهر در موسیقی" گرفته شده است.[۱] در مسائل فیزیکی مقدار ویژه ای، این که فرکانس یک موج ضرایب صحیحی از موج دیگری باشد، معنا دار شد، مثل هماهنگ های نوت های موسیقیایی، اما این اصطلاح (هماهنگ) کاربرد هایی فراتر از معنی اصلی آن پیدا کرد.

تبدیل فوریه کلاسیک روی هنوز هم یک حوزه زنده تحقیقاتیست، بخصوص تبدیل های فوریه روی اشیاء کلی تری چون توزیعات تمپرد. به عنوان مثال، اگر ما برخی الزامات روی توزیعی چون اعمال کنیم، می توانیم آن ها را به زبان تبدیل فوریه روی نیز ترجمه کنیم. قضیه پالی-وینر مثالی ازین فرایند است. قضیه پالی-وینر فوراً ایجاب می کند که اگر یک توزیع ناصفر با تکیه گاهی فشرده باشد (شامل توابع با تکیه گاه ثابت هم می شود)، آنگاه تبدیل فوریه آن هیچ گاه تکیه گاه فشرده نخواهد داشت. این حالت بسیار مقدماتی از اصل عدم قطعیت در بستر آنالیز-هارمونیک است.

سری های فوری را می توان در بستر فضاهای هیلبرت به طور مناسب تری مطالعه کرد، چرا که در آنجا ارتباطی بین آنالیز هارمونیک و آنالیز تابعی ارائه می کند.

آنالیز هارمونیک کاربردی[ویرایش]

سیگنال زمانی گیتار-باس نوت رشته باز A با فرکانس 55 هرتز
تبدیل فوریه سیگنال زمانی گیتار-باس نوت رشته باز A با فرکانس 55 هرتز[۲]

بسیاری از کاربرد های آنالیز هارمونیک در علم و مهندسی با ایده یا فرضی شروع شد که یک پدیده یا سیگنال را می توان به صورت ترکیبی از جمع تک مؤلفه های ارتعاشی در نظر گرفت. جزر و مد اقیانوس و ریسمان مرتعش مثال های رایج و ساده ای هستند. اغلب رهیافت های نظری سعی می کنند با معادلات دیفرانسیل یا دستگاهی از معادلات استفاده کنند تا ویژگی های اساسی سیستم شامل دامنه، فرکانس و فاز های مؤلفه های ارتعاشی را توصیف کنند. معادلات خاصی به نوع میدان وابستگی دارند، اما نظریه ها عموماً سعی می کنند معادلاتی انتخاب کنند که نمایانگر اصول اصلی قابل کاربرد باشند.

رهیافت آزمایشی اغلب نیازمند داده هایی اند که به طور دقیق پدیده مورد نظر را ارزیابی کند. به عنوان مثال، در مطالعه جزر و مد، آزمایشگر ممکن است نمونه هایی از عمق آب را به صورت تابعی از زمان جمع آوری کند به گونه ای که بازه های فضایی به میزان کافی به هم نزدیک باشند تا هر نوسان در بازه زمانی به اندازه کافی بلند برای مشاهده چندین دوره نوسانی باشد.

به عنوان مثال، سیگنال تصویر بالایی یک موج صوتی گیتار باس است که با در آن نوت A با ریسمان باز با فرکانس پایه ای 55 هرتزی نواخته شده است. شکل موج حالت نوسانی دارد، اما پیچیده تر از یک موج ساده سینوسی است، که نشانگر حضور امواج دیگری در آن می باشد. مؤلفه های مختلف موج را می توان با اعمال تکنیک های آنالیز ریاضیاتی به نام تبدیل فوریه شناسایی کرد، نتیجه این تبدیل در تصویر پایینی نشان داده شده. توجه کنید که در فرکانس 55 هرتز پیک عمده ای مشاهده می شود، اما پیک های دیگری در فرکانس های 110 و 165 هرتز و فرکانس های دیگر مرتبط با آن دیده می شود که ضرایبی از 55 هرتز هستند. در این حالت فرکانس 55 هرتز به عنوان فرکانس بنیادی ریسمان مرتعش شناسایی شده و به ضرایب صحیحی که در آن ضرب می شود هماهنگ ها می گویند.

منابع[ویرایش]

کتابشناسی[ویرایش]