انتگرال دیریکله

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات چند انتگرال‌های وجود دارد که به نام ریاضیدان آلمانی یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله با انتگرال دیریکله شناخته می‌شوند.

یکی از این انتگرال‌ها در زیر آمده است:

این رابطه با نمایش انتگرال فوریه قابل اثبات است. همچنین به سادگی با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال قابل ارزیابی است.

اثبات با استفاده از مشتق گیری در داخل علامت انتگرال[ویرایش]

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می‌کنیم، و . رابطه

را در نظر بگیرید. سپس باید را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به داریم:

با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

انتگرال با استفاده از فرمول اولر بسیار ساده تر ساخته می‌شود

در نتیجه

که نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می‌شود:

بنابراین

با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از تا داریم

Note that

لذا،

در نتیجه:

و به طور کلی تر

پیوندهای مرتبط[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]