بسط دوجمله‌ای

بسط دو جمله ای در ریاضیات فرمولی برای محاسبهٔ توانهای دو جمله‌ای است مثلاً برای ۲ ≤ n ≤ ۵

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,$

$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,$

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,$

$(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5\,$

هدف این است که فرمولی برای $x+y)^n)$ که در آن n عدد طبیعی است بدست آوریم. در این جا قضیه دو جمله‌ای را بیان و ثابت می کنیم.

قضیه دو جمله‌ای

اگر n عدد طبیعی باشد، انگاه

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)$

که :${n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ ضریب ثابت دو جمله ای است و !n فاکتوریل n را بیان می‌کند. این فرمول و ارایش مثلثی ضرایب ثابت دو جمله‌ای که به مثلث پاسکال نسبت داده می‌شود (کسی که در قرن هفدهم انها را توصیف کرده اما اینها توسط ریاضیدانان زیادی زودتر از او کشف شده بود در قرن یازدهم توسط عمر خیام ریاضیدان ایرانی، در قرن سیزدهم توسط یانگ هو ریاضیدان چینی )

در این جا همهٔ x و yهای حقیقی و مختلط صدق می‌کند و به طور کلی تر برای مقادیر x و y به طوری که xy=yx باشد

اثبات

یک روش روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، استقرای ریاضی است وقتی که n = 0 است ما داریم

$(a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.$

برای گام استقرا فرض می کنیم که قضیه برای m درست، انگاه n = m + 1

$(a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,$

$= \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}$

$= a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}$

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k$

$= a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

$= \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k$

اعداد دو جمله‌ای

یک عدد از فرم $\scriptstyle x^n \,\pm\, y^n$بدست می اید یک عدد دو جمله‌ای است که n نا منفی یا فرد است وقتی که n منفی یا فرد است می‌توان از این اعداد فاکتورگیری کرد

یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها

برای بسط دادن دو جمله ایها ی به فرم :$(x+y)^n \,$

عبارت اول است و:$x^n \,$ است و ضریب ثابت عبارت بعدی برابراست با ضرب ضریب ثابت فعلی در توان x تقسیم بر تعداد عبارت موجود، توان x کاهش و توان y افزایش میابد تا این که توان x به صفر و توان y به n برسد

برای مثال:

$(x+y)^{10} \,$

عبارت اول :$x^{10} \,$

برای یافتن ضریب دومین عبارت: ضرب 1 (ضریب ثابت فعلی)در 10 (توان فعلی x )و تقسیم بر تعداد عبارت موجود (1، چون یک عبارت وجود دارد )پس حاصل 10 بدست می اید :$10x^9y \,$

به همین شکل ضریب ثابت بعدی 10×9/2×1 به همین روش ادامه می دهیم تا اینکه توان y برابر 10 و توان x برابر صفر شود

$x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10} .$

متوجه می‌شود که ضرایب ثابت متقارن هستند این زمانی اتفاق می افتد که ضرایب ثابت x و y در پرانتز عبارت اصلی یکی باشند پی بردن به این نکته می‌تواند در صرفه جویی در وقت کمک کند

ظاهراً عبارت بعدی، عبارت :$kx^my^n \,$در دو جمله ایها برابراست با

$\frac{km}{n+1}x^{m-1}y^{n+1}=\frac{d}{dx}\left( \int kx^my^n\,dy\right)$

پیوند به بیرون

• محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 393, 1991