بسط دو جمله ای ( به انگلیسی: Binomial theorem or binomial expansion) در ریاضیات فرمولی برای محاسبهٔ توانهای دو جمله‌ای است مثلاً برای ۲ ≤ n ≤ ۵
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,}
هدف این است که فرمولی برای
x
+
y
)
n
)
{\displaystyle x+y)^{n})}
عدد طبیعی است بدست آوریم. در این جا قضیه دو جمله‌ای را بیان و ثابت می کنیم.
قضیه دو جمله‌ای [ ویرایش ] اگر n عدد طبیعی باشد، انگاه
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
(
1
)
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}
که :
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}
ضریب ثابت دو جمله ای است و !n فاکتوریل n را بیان می‌کند. این فرمول و ارایش مثلثی ضرایب ثابت دو جمله‌ای که به مثلث پاسکال نسبت داده می‌شود (کسی که در قرن هفدهم انها را توصیف کرده اما اینها توسط ریاضیدانان زیادی زودتر از او کشف شده بود در قرن یازدهم توسط عمر خیام ریاضیدان ایرانی، در قرن سیزدهم توسط یانگ هو ریاضیدان چینی )
در این جا همهٔ x و yهای حقیقی و مختلط صدق می‌کند و به طور کلی تر برای مقادیر x و y به طوری که xy=yx باشد
یک روش روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، استقرای ریاضی است وقتی که n = 0 است ما داریم
(
a
+
b
)
0
=
1
=
∑
k
=
0
0
(
0
k
)
a
0
−
k
b
k
.
{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}
برای گام استقرا فرض می کنیم که قضیه برای m درست، انگاه n = m + 1
(
a
+
b
)
m
+
1
=
a
(
a
+
b
)
m
+
b
(
a
+
b
)
m
{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}
=
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
+
1
(
m
k
−
1
)
a
m
−
k
+
1
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
−
1
)
a
m
+
1
−
k
b
k
+
b
m
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
[
(
m
k
)
+
(
m
k
−
1
)
]
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
=
∑
k
=
0
m
+
1
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
اعداد دو جمله‌ای [ ویرایش ] یک عدد از فرم
x
n
±
y
n
{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}
یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها [ ویرایش ] برای بسط دادن دو جمله ایها ی به فرم :
(
x
+
y
)
n
{\displaystyle (x+y)^{n}\,}
عبارت اول است و:
x
n
{\displaystyle x^{n}\,}
برای مثال:
(
x
+
y
)
10
{\displaystyle (x+y)^{10}\,}
عبارت اول :
x
10
{\displaystyle x^{10}\,}
برای یافتن ضریب دومین عبارت: ضرب 1 (ضریب ثابت فعلی)در 10 (توان فعلی x )و تقسیم بر تعداد عبارت موجود (1، چون یک عبارت وجود دارد )پس حاصل 10 بدست می اید :
10
x
9
y
{\displaystyle 10x^{9}y\,}
به همین شکل ضریب ثابت بعدی 10×9/2×1 به همین روش ادامه می دهیم تا اینکه توان y برابر 10 و توان x برابر صفر شود
x
10
+
10
x
9
y
+
45
x
8
y
2
+
120
x
7
y
3
+
210
x
6
y
4
+
252
x
5
y
5
+
210
x
4
y
6
+
120
x
3
y
7
+
45
x
2
y
8
+
10
x
y
9
+
y
10
.
{\displaystyle x^{10}+10x^{9}y+45x^{8}y^{2}+120x^{7}y^{3}+210x^{6}y^{4}+252x^{5}y^{5}+210x^{4}y^{6}+120x^{3}y^{7}+45x^{2}y^{8}+10xy^{9}+y^{10}.}
متوجه می‌شوید که ضرایب ثابت متقارن هستند این زمانی اتفاق می افتد که ضرایب ثابت x و y در پرانتز عبارت اصلی یکی باشند پی بردن به این نکته می‌تواند در صرفه جویی در وقت کمک کند
ظاهراً عبارت بعدی، عبارت :
k
x
m
y
n
{\displaystyle kx^{m}y^{n}\,}
k
m
n
+
1
x
m
−
1
y
n
+
1
=
d
d
x
(
∫
k
x
m
y
n
d
y
)
{\displaystyle {\frac {km}{n+1}}x^{m-1}y^{n+1}={\frac {d}{dx}}\left(\int kx^{m}y^{n}\,dy\right)}
پیوند به بیرون [ ویرایش ]
Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 393, 1991
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85)
