فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی نوشته شده‌است. برای آگاهی بیشتر صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

در تمامی رابطه‌ها فرض می‌شود که a ناصفر و C ثابت انتگرال‌گیری است. همچنین یادآوری می‌شود که برای هریک از انتگرال‌های وارون هذلولوی، که در زیر نوشته شده‌اند، در مقابل، یک رابطه نیز در فهرست انتگرال تابع‌های وارون مثلثاتی وجود دارد.

انتگرال تابع‌های وارون سینوس هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{arsinh}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)-\frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}}{a}+C
\int x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{2}+
  \frac{\operatorname{arsinh}(a\,x)}{4\,a^2}-
  \frac{x \sqrt{a^2\,x^2+1}}{4\,a}+C
\int x^2\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{3}-
  \frac{\left(a^2\,x^2-2\right)\sqrt{a^2\,x^2+1}}{9\,a^3}+C
\int x^m\,\operatorname{arsinh}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{m+1}\,-\,
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a^2\,x^2+1}}\,dx\quad(m\ne-1)
\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^2\,dx=
  2\,x+x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^2-
  \frac{2\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)}{a}+C
\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx=
  x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,-\,
  \frac{n\,\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\,
  n\,(n-1)\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n-2}\,dx
\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^n\,dx=
  -\frac{x\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\,
  \frac{\sqrt{a^2\,x^2+1}\,\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+1}}{a(n+1)}\,+\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arsinh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

انتگرال تابع‌های وارون کسینوس هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{arcosh}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)-
  \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{a}+C
\int x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{2}-
  \frac{\operatorname{arcosh}(a\,x)}{4\,a^2}-
  \frac{x\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{4\,a}+C
\int x^2\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{3}-\frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}{9\,a^3}+C
\int x^m\,\operatorname{arcosh}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{m+1}\,-\,
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}}\,dx\quad(m\ne-1)
\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^2\,dx=
  2\,x+x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^2-
  \frac{2\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)}{a}+C
\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx=
  x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,-\,
  \frac{n\,\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-1}}{a}\,+\,
  n\,(n-1)\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n-2}\,dx
\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^n\,dx=
  -\frac{x\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\,
  \frac{\sqrt{a\,x+1}\,\sqrt{a\,x-1}\,\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,+\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\operatorname{arcosh}(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

انتگرال تابع‌های وارون تانژانت هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{artanh}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{artanh}(a\,x)+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C
\int x\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{2}-
  \frac{\operatorname{artanh}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C
\int x^2\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{artanh}(a\,x)}{3}+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C
\int x^m\,\operatorname{artanh}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{artanh}(a\,x)}{m+1}+
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)

انتگرال تابع‌های وارون کتانژانت هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{arcoth}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{2\,a}+C
\int x\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2}-
  \frac{\operatorname{arcoth}(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C
\int x^2\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{arcoth}(a\,x)}{3}+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2-1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C
\int x^m\,\operatorname{arcoth}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arcoth}(a\,x)}{m+1}+
  \frac{a}{m+1}\int\frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2-1}\,dx\quad(m\ne-1)

انتگرال تابع‌های وارون سکانت هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{arsech}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{arsech}(a\,x)-
  \frac{2}{a}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C
\int x\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{2}-
  \frac{(1+a\,x)}{2\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}+C
\int x^2\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{3}\,-\,
  \frac{1}{3\,a^3}\,\operatorname{arctan}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,-\,
  \frac{x(1+a\,x)}{6\,a^2}\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}\,+\,C
\int x^m\,\operatorname{arsech}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\,\operatorname{arsech}(a\,x)}{m+1}\,+\,
  \frac{1}{m+1}\int\frac{x^m}{(1+a\,x)\sqrt{\frac{1-a\,x}{1+a\,x}}}\,dx\quad(m\ne-1)

انتگرال تابع‌های وارون کسکانت هیپربولیک[ویرایش]

\int\operatorname{arcsch}(a\,x)\,dx=
  x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)+
  \frac{1}{a}\,\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C
\int x\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx=
  \frac{x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{2}+
  \frac{x}{2\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}+C
\int x^2\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx=
  \frac{x^3\,\operatorname{arcsch}(a\,x)}{3}\,-\,
  \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\,
  \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}\,+\,C
\int x^m\,\operatorname{arcsch}(a\,x)dx=
  \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsch}(a\,x)}{m+1}\,+\,
  \frac{1}{a(m+1)}\int\frac{x^{m-1}}{\sqrt{\frac{1}{a^2\,x^2}+1}}\,dx\quad(m\ne-1)

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «List of integrals of inverse hyperbolic functions»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۳۱ اوت ۲۰۱۱).