حد دنباله

دنباله‌ای که به عدد صفر نزدیک می‌شود

دنباله‌ای که همگرا است و به عدد خاصی نزدیک می‌شود

در علوم ریاضی، حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جمله‌های آن دنباله با پیش‌روی، به قدر دلخواه به آن نزدیک می‌شوند؛ اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را همگرا و در غیر این صورت دنباله را واگرا می‌گوییم.

تعریف

دنبالهٔ $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ از اعداد حقیقی را به $l$ همگرا گوییم هرگاه برای هر $\epsilon$ مثبت، عددی طبیعی چون $n_{0}$ وجود داشته باشد به طوریکه برای هر $n$ بزرگتر یا مساوی $n_{0}$، فاصلهٔ جملهٔ $n$ام دنباله از $l$، کمتر از $\epsilon$ باشد، و می‌نویسیم $\lim _{n\to \infty }a_{n}$. از نظر هندسی، برای هر $\epsilon$ مثبت، به ازای هر $n\geq n_{0}$، جملهٔ $n$ ام$\{a_{n}\}$ در بازهٔ بازی به شعاع $2\epsilon$ قرار می‌گیرد که $l$ نقطهٔ میانهٔ این بازه است. پس تنها تعداد متناهی از جملات دنباله در این بازه قرار نمی‌گیرند.

به بیان ریاضی، $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ هرگاه

$\forall \epsilon >0\exists n_{0}\in \mathbb {N} \ s.t.\ \forall n\geq n_{0}\ |a_{n}-l|<\epsilon$

ویژگی‌های حد

حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l_{1}$ و $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l_{2}$ آنگاه $l_{1}=l_{2}$.

اگر برای هر $n$ بزرگتر از یک $n_{0}$ مشخص داشته باشیم $a_{n}\geq b_{n}$ آنگاه $\lim _{n\to \infty }a_{n}\geq \lim _{n\to \infty }b_{n}$.

اگر برای دنبالهٔ $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ داشته باشیم $\lim _{n\to \infty }a_{n}$، به ازای هر تابع پیوسته‌ی $f$ داریم $\lim _{n\to \infty }f(a_{n})$.

قضایای حد

قضیه‌ی فشردگی

اگر برای هر $n$ بزرگتر از یک $n_{0}$ مشخص داشته باشیم $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ و همچنین داشته باشیم $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=l$ آنگاه $\lim _{n\to \infty }c_{n}=l$.

جستارهای وابسته

• حد
• دنباله

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit of a sequence». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.